课后作业(二十二)正弦定理和余弦定理一、选择题1．(2013·宁波模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝()A．－B.C．－1D．12．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A．(0，]B．[，π]C．(0，]D．[，π)3．若△ABC中，6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝()A.B.C.D.4．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.B.C.D.5．(2013·福州模拟)已知△ABC的面积为，AC＝2，∠BAC＝60°，则∠ACB＝()A．30°B．60°C．90°D．150°6．(2012·湖北高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C，3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4二、填空题7．(2012·北京高考)在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为________．8．(2012·湖北高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________．9．(2013·昆明模拟)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a2－c2＝b，且b＝3ccosA，则b＝________．三、解答题10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc.(1)求角A的大小；(2)若sinB·sinC＝sin2A，试判断△ABC的形状．11．(2012·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.(1)求cosA；(2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b，c.12．(2013·南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin.(1)求sinC的值；(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．解析及答案一、选择题1．【解析】由acosA＝bsinB得sinAcosA＝sin2B，∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.【答案】D2．【解析】由正弦定理得a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，则cosA≥.因为0＜A＜π，所以0＜A≤.【答案】C3．【解析】由正弦定理得6a＝4b＝3c，所以b＝a，c＝2a.所以cosB＝＝＝.【答案】D4．【解析】设AB＝a，则由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(负值舍去)．∴S△ABC＝AB·BCsinB＝×3×2×＝.∴BC边上的高为＝.【答案】B5．【解析】由S△＝AB·ACsin∠BAC＝ABsin60°＝得AB＝1，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝3，∴BC＝，由正弦定理得＝，∴sin∠ACB＝＝＝，又AB＜BC，∴∠ACB＜60°，∴∠ACB＝30°.【答案】A6．【解析】∵A>B>C，∴a>b>c.设a＝b＋1，c＝b－1，由3b＝20acosA，得3b＝20(b＋1)×.化简，得7b2－27b－40＝0.解得b＝5或b＝－(舍去)，∴a＝6，c＝4.∴sinA∶sinB∶sinC＝6∶5∶4.【答案】D二、填空题7．【解析】在△ABC中，由正弦定理可知＝，即sinB＝＝＝.又∵a>b，∴∠B＝.∴∠C＝π－∠A－∠B＝.【答案】8．【解析】由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得a2＋b2－c2＝－ab，则cosC＝＝－.又因为角C为△ABC的内角，所以C＝.【答案】9．【解析】由余弦定理知b＝3ccosA＝3c×，∴b2＝3(a2－c2)，又a2－c2＝b，∴b2＝3b，∴b＝3.【答案】3三、解答题10．【解】(1)由已知得cosA＝＝＝，又∠A是△ABC的内角，∴A＝.(2)由正弦定理，得bc＝a2，又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc.∴(b－c)2＝0，即b＝c.又A＝，∴△ABC是等边三角形．11．【解】(1)由3cos(B－C)－1＝6cosBcosC，得3(cosBcosC－sinBsinC)＝－1，即cos(B＋C)＝－，从而cosA＝－cos(B＋C)＝.(2)由于0
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