课后作业(五十)双曲线一、选择题1.(2013·烟台调研)设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±2xC.y=±xD.y=±x2.若双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,则双曲线焦点F到渐近线的距离为()A.2B.3C.4D.53.(2013·临沂质检)设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为()A.B.C.2D.34.(2012·湖南高考)已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=15.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于()A.2B.4C.6D.86.(2013·青岛模拟)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1二、填空题7.(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为,则m的值为________.8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为________.9.(2012·重庆高考)设P为直线y=x与双曲线-=1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=________.三、解答题10.设双曲线-=1(b>a>0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线l的距离为c,求双曲线的离心率.11.(2013·合肥联考)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).点M(3,m)在双曲线上.(1)求双曲线方程;(2)求证:MF1·MF2=0;(3)求△F1MF2面积.12.设A,B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M、N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD,求t的值及点D的坐标.解析及答案一、选择题1.【解析】由题意得b=1,c=.∴a=,∴双曲线的渐近线方程为y=±x,即y=±x.【答案】C2.【解析】由双曲线的渐近线方程为y=±x可知m=9.∴F(0,±),其到y=±x的距离d==3.【答案】B3.【解析】设双曲线C的方程为-=1,焦点F(-c,0).将x=-c代入-=1可得y2=.所以|AB|=2×=2×2a,∴b2=2a2,c2=a2+b2=3a2.∴e==.【答案】B4.【解析】∵-=1的焦距为10,∴c=5=.①又双曲线渐近线方程为y=±x,且P(2,1)在渐近线上,∴=1,即a=2b.②由①②解得a=2,b=,故应选A.【答案】A5.【解析】设点P在双曲线C的右支上,则|PF1|-|PF2|=2,在△PF1F2中,由余弦定理知4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=8,又|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|=8,∴|PF1|·|PF2|=8-22=4.【答案】B6.【解析】由题意知曲线C2是以椭圆C1的焦点为焦点的双曲线,且2a=8,即a=4,由椭圆的离心率知=,∴c=5,∴b2=c2-a2=25-16=9,∴曲线C2的标准方程为-=1.【答案】A二、填空题7.【解析】∵c2=m+m2+4,∴e2===5,∴m2-4m+4=0,∴m=2.【答案】28.【解析】由题意知=,抛物线的准线方程为x=-6,则c=6,由,得,∴双曲线方程为-=1.【答案】-=19.【解析】∵直线y=x与双曲线-=1相交,由消去y得x=,又PF1垂直于x轴,∴=c,即e==.【答案】三、解答题10.【解】由l过两点(a,0)、(0,b),得l的方程为bx+ay-ab=0.由原点到l的距离为c,得=c.将b=代入,平方后整理,得3()4-16()2+16=0,即3e4-16e2+16=0,又e>1,故e=或e=2.又∵0<a<b,∴e===>,∴应舍去e=,故所求离心率e=2.11.【解】(1)∵e=,则双曲线的实轴、虚轴相等.∴可设双曲线方程为x2-y2=λ.∵过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线方程为x2-y2=6.(2)证明∵MF1=(-3-2,-m),MF2=(2-3,-m).∴MF1·MF2=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2,∵M点在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,∴MF1·MF2=0.(3)△F1MF2的底|F1F2|=4.由(2)知m=±.∴△F1MF2的高h=|m|=,∴S△F1MF2=6.12.【解】(1)由题意知a=2,∴一条渐近线为y=x,即bx-2y=0,∴=,∴b2=3,∴双曲线的方程为-=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0,则x1+x2=16,y1+y2=12,∴∴∴t=4,点D的坐标为(4,3).