课后作业(二十九)数列的概念与简单表示法一、选择题1．如图5－1－2，关于星星的图案中星星的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是()图5－1－2A．an＝n2－n＋1B．an＝C．an＝D．an＝2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，则a10＝()A．1024B．1023C．2048D．20473．(2013·太原模拟)已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是()A．2n－1B．()n－1C．n2D．n4．(2013·合肥质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，则S2012＝()A．22012－1B．3×21006－3C．3×21006－1D．3×21005－25．(2013·南昌质检)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝()A．1B．9C．10D．556．(2013·佛山模拟)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为()A．5B.C.D.二、填空题7．已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝，则a36＝________．8．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________．9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值为________．三、解答题10．(2013·邯郸模拟)已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的增减性．11．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．12．(2013·皖北协作区联考)在数列{an}，{bn}中，a1＝2，an＋1－an＝6n＋2，点(，bn)在y＝x3＋mx的图象上，{bn}的最小项为b3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求m的取值范围．解析及答案一、选择题1．【解析】观察所给图案知，an＝1＋2＋3＋…＋n＝.【答案】C2．【解析】∵an＋1＝an＋2n，∴an－an－1＝2n－1(n≥2)，∴a10＝(a10－a9)＋(a9－a8)＋…＋(a2－a1)＋a1＝29＋28＋…＋2＋1＝210－1＝1023.【答案】B3．【解析】∵an＝n(an＋1－an)，∴＝，∴an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝n.【答案】D4．【解析】依题意得，an·an＋1＝2n，an＋1·an＋2＝2n＋1，于是有＝2，即＝2，数列a1，a3，a5，…，a2k－1，…是以a1＝1为首项、2为公比的等比数列；数列a2，a4，a6，…，a2k，…是以a2＝2为首项、2为公比的等比数列，于是有S2012＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2011)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2012)＝＋＝3×21006－3，选B.【答案】B5．【解析】∵Sn＋Sm＝Sn＋m，∴令n＝9，m＝1，即得S9＋S1＝S10，S1＝S10－S9＝a10＝1，∴a10＝1.【答案】A6．【解析】∵an＋an＋1＝(n∈N*)，∴a1＝－a2＝－2，a2＝2，a3＝－2，a4＝2，…故a2n＝2，a2n－1＝－2.∴S21＝10×＋a1＝5＋－2＝.【答案】B二、填空题7．【解析】∵ap＋q＝ap＋aq，∴a36＝a32＋a4＝2a16＋a4＝4a8＋a4＝8a4＋a4＝18a2＝36a1＝4.【答案】48．【解析】由题意知：a1·a2·a3…an－1＝(n－1)2，∴an＝()2(n≥2)，∴a3＋a5＝()2＋()2＝.【答案】9．【解析】an＝即an＝∵n＝1时适合an＝2n－10，∴an＝2n－10.∵5＜ak＜8，∴5＜2k－10＜8，∴＜k＜9，又∵k∈N*，∴k＝8.【答案】8三、解答题10．【解】(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．∴bn＝.(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝＋＋…＋，∴cn＋1－cn＝＋－＜0，∴{cn}是递减数列．11．【解】(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；同理，a3＝3，a4＝4.(2)Sn＝＋a，①当n≥2时，Sn－1＝＋a，②①－②即得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故数列{an}为首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.12．【解】(1)∵an＋1－an＝6n＋2，∴当n≥2时，an－an－1＝6n－4.∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(6n－4)＋(6n－10)＋…＋8＋2＝＋2＝3n2－3n＋2n－2＋2＝3n2－n，显然a1也满足an＝3n2－n，∴an＝3n2－n.(2)∵点(，bn)在y＝x3＋mx的图象上，∴bn＝(3n－1)3＋m(3n－1)．∴b1＝8＋2m，b2＝125＋5m，b3＝512＋8m，b4＝1331＋11m.∵{bn}的最小项是b3，∴∴－273≤m≤－129.∵bn＋1＝(3n＋2)3＋m(3n＋2)，bn＝(3n－1)3＋m(3n－1)，∴bn＋1－bn＝3[(3n＋2)2＋(3n－1)2＋(3n＋2)(3n－1)]＋3m＝3(27n2＋9n＋3＋m)，当n≥4时，27n2＋9n＋3＞273，∴27n2＋9n＋3＋m＞0，∴bn＋1－bn＞0，∴n≥4时，bn＋1＞bn.综上可知－273≤m≤－129，∴m的取值范围为[－273，－129]．
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