课后作业(十一)函数与方程一、选择题1．(2013·东莞模拟)方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)2．函数f(x)＝的零点个数为()A．3B．2C．1D．03．(2013·合肥模拟)已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(lnx)－lnx的零点个数为()A．1B．2C．3D．44．(2013·济南模拟)已知函数f(x)＝若x0是y＝f(x)的零点，且0＜t＜x0，则f(t)()A．恒小于0B．恒大于0C．等于0D．不大于05．设x1，x2是方程ln|x－2|＝m(m为实常数)的两根，则x1＋x2的值为()A．4B．2C．－4D．与m有关6．(2013·洛阳模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(x)＝且对任意的x∈R都有f(x＋1)＝f(x－1)，若在区间[－1，3]上函数g(x)＝f(x)－mx－m恰有四个不同零点，则实数m的取值范围是()A．[0，]B．[0，)C．(0，]D．(0，]二、填空题7．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．8．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________．9．(2013·肇庆模拟)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2；函数g(x)＝lg|x|，则函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象在区间[－5，5]内的交点个数共有________个．三、解答题10．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围．并求出该零点．11．(2013·福州模拟)已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a：(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y＝f(x)在区间(－1，0)及(0，)内各有一个零点，求实数a的范围．12．(2013·长沙模拟)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.(1)写出函数y＝f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．解析及答案一、选择题1．【解析】设f(x)＝log3x＋x－3，则f(1)＝0＋1－3＝－2＜0，f(2)＝log32＋2－3＝log32－1＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，∴f(2)·f(3)＜0，故方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是(2，3)．【答案】C2．【解析】法一令f(x)＝0，得或所以x＝－3或x＝e2，应选B.法二画出函数f(x)的图象可得，图象与x轴有两个交点，则函数f(x)有2个零点．【答案】B3．【解析】sgn(lnx)＝故函数f(x)＝sgn(lnx)－lnx的零点有3个，分别为e，1，.【答案】C4．【解析】当x＞0时，由f(x)＝()x－log2x＝0得()x＝log2x，在同一坐标系中分别作出y＝()x，y＝log2x的图象，由图象可知，当0＜t＜x0时，()t＞log2t，所以此时f(t)恒大于0，选B.【答案】B5．【解析】函数y＝ln|x－2|的图象关于直线x＝2对称，从而x1＋x2＝4.【答案】A6．【解析】由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)的周期为2，从而函数f(x)在区间[－1，3]上的图象如图所示：令u(x)＝mx＋m＝m(x＋1)，当m＝0时，g(x)＝f(x)有两个零点，不合题意，当m≠0时，直线恒过定点(－1，0)．当直线过点A(3，1)时，m＝，故m∈(0，]．【答案】D二、填空题7．【答案】(1，＋∞)8．【解析】∵2＜a＜3＜b＜4，当x＝2时，f(2)＝loga2＋2－b＜0；当x＝3时，f(3)＝loga3＋3－b＞0，∴f(x)的零点x0在区间(2，3)内，∴n＝2.【答案】29．【解析】函数y＝f(x)以2为周期，y＝g(x)是偶函数，画出图象可知有8个交点．【答案】8三、解答题10．【解】∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)．∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.11．【解】(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题；依题意：f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根∵Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．(2)依题意：要使y＝f(x)在区间(－1，0)及(0，)内各有一个零点只须即解得：＜a＜.故实数a的取值范围为{a|＜a＜}．12．【解】(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)．∵y＝f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，∴f(x)＝(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.∴据此可作出函数y＝f(x)的图象(如图所示)，根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1，1)．
VIP
