课后作业(四)函数及其表示一、选择题1．(2012·山东高考)函数f(x)＝＋的定义域为()A．[－2，0)∪(0，2]B．(－1，0)∪(0，2]C．[－2，2]D．(－1，2]2．(2013·青岛模拟)已知f(x)＝则f()＋f(－)的值为()A.B．－C．－1D．1图2－1－13．已知函数f(x)的图象是两条线段(如图2－1－1，不含端点)，则f(f())＝()A．－B.C．－D.4．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()A．y＝[]B．y＝[]C．y＝[]D．y＝[]图2－1－25．如图2－1－2，是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()6．(2013·东城模拟)已知函数f(x)＝若f[f(x)]＝2，则x的取值范围是()A．∅B．[－1，1]C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．{2}∪[－1，1]二、填空题7．(2013·杭州模拟)已知f(x－1)＝2x＋3，f(m)＝6，则m＝________．8．已知函数f(x)＝，则函数f[f(x)]的定义域是________．9．(2013·威海模拟)已知f(x)＝则不等式x＋x·f(x)≤2的解集是________．三、解答题10．已知函数y＝f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．图2－1－311．(2013·珠海模拟)已知f(x)＝x2－1，g(x)＝(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；(2)求f(g(x))和g(f(x))的解析式．12．如果对∀x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝2，(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值．(2)求＋＋＋…＋＋＋的值．解析及答案一、选择题1．【解析】由【答案】B2．【解析】f(－)＝cos(－π)＝－cos＝－，f()＝f()＋1＝f(－)＋2＝cos(－π)＋2＝，∴f()＋f(－)＝－＋＝1.【答案】D3．【解析】由图象知，当－1＜x＜0时，f(x)＝x＋1，当0＜x＜1时，f(x)＝x－1，∴f(x)＝∴f()＝－1＝－，∴f(f())＝f(－)＝－＋1＝.【答案】B4．【解析】当各班人数x除以10，商为n，余数为0，1，2，3，4，5，6时，即x＝10n＋m，0≤m≤6时，y＝n；当各班人数x除以10，商为n，余数为7，8，9时，即x＝10n＋7，x＝10n＋8，x＝10n＋9时，即x＋3＝10(n＋1)，x＋3＝10(n＋1)＋1，x＋3＝10(n＋1)＋2时，y＝n＋1.故y＝[]．故选B.【答案】B5．【解析】由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意．【答案】D6．【解析】若x∈[－1，1]，则有f(x)＝2∉[－1，1]，∴f(2)＝2.若x∉[－1，1]，则f(x)＝x∉[－1，1]，∴f[f(x)]＝x，此时若f[f(x)]＝2，则有x＝2.【答案】D二、填空题7．【解析】法一∵f(x－1)＝2x＋3，∴f(x)＝4x＋7，∴f(m)＝4m＋7＝6，∴m＝－.法二由2x＋3＝6，得x＝，∴m＝×－1＝－.【答案】－8．【解析】f(x)的定义域为{x|x≠－1}，要使函数f[f(x)]有意义，则有即x≠－1且x≠－2，故函数f[f(x)]的定义域是{x|x≠－1且x≠－2}．【答案】{x|x≠－1且x≠－2}9．【解析】(1)当x≥0时，不等式可化为x＋x2≤2，解得－2≤x≤1，又x≥0，∴0≤x≤1.(2)当x＜0时，不等式可化为x－x2≤2，解得x∈R，又x＜0，∴x＜0.综上知，不等式的解集为{x|x≤1}．【答案】{x|x≤1}三、解答题10．【解】根据图象，设左侧的射线对应的解析式为y＝kx＋b(x≤1)．∵点(1，1)，(0，2)在射线上，∴解得∴左侧射线对应函数的解析式为y＝－x＋2(x≤1)；同理，x≥3时，函数的解析式为y＝x－2(x≥3)．再设抛物线对应的二次函数解析式为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a＜0)．∵点(1，1)在抛物线上，∴a＋2＝1，a＝－1，∴1≤x≤3时，函数的解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．综上，函数的解析式为y＝11．【解】(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，∴f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.(2)当x＞0时，g(x)＝x－1，故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；当x＜0时，g(x)＝2－x，故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3；∴f(g(x))＝当x＞1或x＜－1时，f(x)＞0，故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2；当－1＜x＜1时，f(x)＜0，故g(f(x))＝2－f(x)＝3－x2，∴g(f(x))＝12．【解】(1)∵对∀x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝2，f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4，f(3)＝f(2＋1)＝f(1)·f(2)＝23＝8.f(4)＝f(2＋2)＝f(2)·f(2)＝24＝16.(2)由(1)知＝2，＝2，＝2，…，＝2，故原式＝2×1006＝2012.
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