课后作业(十五)导数的综合应用一、选择题1．若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为()A．－2＜m＜2B．－2≤m≤2C．m＜－2或m＞2D．m≤－2或m≥2图2－12－32．在R上可导的函数f(x)的图象如图2－12－3所示，则关于x的不等式x·f′(x)＜0的解集为()A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－2，－1)∪(1，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)3．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间[0，]上的值域为()A．[，e]B．(，e)C．[1，e]D．(1，e)4．(2013·潍坊模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为()A．(－1，1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)图2－12－45．(2013·青岛模拟)如图2－12－4为一圆锥形容器，其底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t＝分钟时的瞬时变化率为(注：π≈3.1)()A．27分米/分钟B．9分米/分钟C．81分米/分钟D．9分米/分钟6．(2012·湖南高考)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，00.则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为()A．2B．4C．5D．8二、填空题7．若f(x)＝xsinx＋cosx，则f(－3)，f()，f(2)的大小关系为________．8．(2013·中山模拟)若函数f(x)满足：“对于区间(1，2)上的任意实数x1，x2(x1≠x2)，|f(x2)－f(x1)|＜|x2－x1|恒成立”，则称f(x)为完美函数，给出以下四个函数①f(x)＝；②f(x)＝|x|；③f(x)＝()x；④f(x)＝x2.其中是完美函数的序号是________．9．已知函数f(x)＝x2＋mx＋lnx是单调递增函数，则m的取值范围是________．三、解答题10．(2013·潍坊模拟)已知定义在区间[－2，t](t＞－2)上的函数f(x)＝(x2－3x＋3)ex.(1)当t＞1时，求函数y＝f(x)的单调区间；(2)设m＝f(－2)，n＝f(t)，试证明m＜n.11．(2013·福州模拟)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．12．(2013·宁波模拟)已知函数f(x)＝2x3＋tx2－3t2x＋，x∈R，其中t∈R.(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当t≠0时，求f(x)的单调区间；(3)证明：对任意的t∈(0，＋∞)，f(x)在区间(0，1)内均存在零点．解析及答案一、选择题1．【解析】y′＝3(1－x)(1＋x)，由y′＝0，得x＝±1，∴y极大＝2，y极小＝－2，∴－2＜m＜2.【答案】A2．【解析】(1)当x∈(－∞，－1)和x∈(1，＋∞)时，f(x)是增函数，∴f′(x)＞0，因此x＜0，∴x·f′(x)＜0的范围是(－∞，－1)．(2)当－1＜x＜1时，f(x)递减，∴f′(x)＜0.由x·f′(x)＜0，得x＞0，∴0＜x＜1.故x·f′(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．【答案】A3．【解析】f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx，当0＜x＜时，f′(x)＞0，∴f(x)是[0，]上的增函数．∴f(x)的最大值为f()＝e，f(x)的最小值为f(0)＝.∴f(x)的值域为[，e]．【答案】A4．【解析】由已知，[f(x)－(2x＋4)]′＝f′(x)－2＞0，∴g(x)＝f(x)－(2x＋4)单调递增，又g(－1)＝0，∴f(x)＞2x＋4的解集是(－1，＋∞)．【答案】B5．【解析】设t时刻水面高度为h，半径为r，则r＝h.此时水的体积V＝πr2h＝πh3，又V＝9.3t所以πh3＝9.3t，且π≈3.1.∴h＝3t，则h′＝t－，故当t＝分钟时的瞬时变化率为()－＝9.【答案】B6．【解析】 (x－)f′(x)>0，当0，∴f(x)在(，π)上是增函数．当0
