课后作业(十三)变化率与导数、导数的计算一、选择题1．下列函数求导运算正确的个数为()①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；④()′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.A．1B．2C．3D．42．(2013·宿州模拟)若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()A．2B．0C．－2D．－43．(2013·济南模拟)设曲线y＝在点(3，2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝()A．2B．－2C．－D.4．(2013·洛阳模拟)曲线y＝x2ex＋2x＋1在点P(0，1)处的切线与x轴交点的横坐标是()A．1B.C．－1D．－5．(2013·台州模拟)已知曲线y＝x2－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点横坐标为()A．－2B．3C．2或－3D．26．有一机器人的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为()A.B.C.D.二、填空题7．已知函数f(x)＝f′()cosx＋sinx，则f()的值为________．8．(2013·成都模拟)已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝________．9．已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)(n∈N*，且n≥2)，则f1()＋f2()＋…＋f2012()＋f2013()＝________．三、解答题10．已知曲线y＝x3＋.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．11．(2013·江门模拟)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．12．设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限，求切线方程．解析及答案一、选择题1．【解析】①(3x)′＝3xln3；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；④()′＝－＝－；⑤(x·ex)′＝ex＋x·ex＝ex(x＋1)，故选B.【答案】B2．【解析】f′(x)＝2f′(1)＋2x,∴令x＝1，得f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.故选D.【答案】D3．【解析】∵y′＝＝－∴y′|x＝3＝＝－，∴－a＝2，即a＝－2.【答案】B4．【解析】∵y′＝2xex＋x2ex＋2，∴y′|x＝0＝2，∴曲线在点P(0，1)处的切线方程为y－1＝2x，即y＝2x＋1，令y＝0得x＝－，故选D.【答案】D5．【解析】设切点坐标为(x0，y0)，∵y′＝x－，∴y′|x＝x0＝x0－＝－，即x＋x0－6＝0，解得x0＝2或x0＝－3(舍)，故选D.【答案】D6．【解析】∵s(t)＝t2＋，∴s′(t)＝2t－，∴机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝4－＝.【答案】D二、填空题7．【解析】∵f′(x)＝－f′()sinx＋cosx，∴f′()＝－f′()sin＋cos，∴f′()＝－1，∴f()＝(－1)cos＋sin＝1.【答案】18．【解析】∵f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.【答案】－1209．【解析】f1(x)＝sinx＋cosx，f2(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝sinx＋cosx，….因此，函数fn(x)(n∈N*)周期性出现且周期为4又f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，∴f1()＋f2()＋…＋f2012()＋f2013()＝f1()＝sin＋cos＝1.【答案】1三、解答题10．【解】(1)∵P(2，4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，∴在点P(2，4)处的切线的斜率为：y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A(x0，x＋)，则切线的斜率为：y′|x＝x0＝x.∴切线方程为y－(x＋)＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为：x＝1，x0＝±1.切点为(－1，1)或(1，)，∴切线方程为y－1＝x＋1或y－＝x－1.即x－y＋2＝0或3x－3y＋2＝0.11．【解】f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，∴a≠－.∴a的取值范围为(－∞，－)∪(－，＋∞).12．【解】设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1①y1＝－x＋x1－4②①代入②得x＋(k－)x1＋4＝0.∵P为切点，∴Δ＝(k－)2－16＝0得k＝或k＝.当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.当k＝时，x1＝2，y1＝1.∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝.故所求切线方程为y＝x.
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