第七章第8课时立体几何中的向量方法随堂检测（含解析）1．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．解：(1)建立如图空间直角坐标系，∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，∴∠PAD＝60°.在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2，∴P(0,0,2)．(2)∵PA＝(2,0，－2)，BC＝(－2，－3,0)，∴cos〈PA，BC〉＝＝－，∴PA与BC所成的角的余弦值为.2．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．(1)证明：CM⊥SN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小．解：设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，N，S.(1)证明：CM＝，SN＝.∵CM·SN＝－＋＋0＝0，∴CM⊥SN.(2)NC＝，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则a·CM＝0，a·NC＝0，得令x＝2，得a＝(2,1，－2)．∵|cos〈a，SN〉|＝＝，∴直线SN与平面CMN所成角的正弦值为.故SN与平面CMN所成角为45°.
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