第七章第6课时空间直角坐标系随堂检测（含解析）1．(2011·高考陕西卷)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．解：(1)证明：∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC.∵AD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.(2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA.∵DB＝DA＝DC＝1，∴AB＝BC＝CA＝，从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝×1×1＝，S△ABC＝×××sin60°＝，∴三棱锥D－ABC的表面积S＝×3＋＝.2．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点G，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：(1)AE⊥平面BCE；(2)AE∥平面BFD.证明：(1)∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC.又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF.又BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.(2)依题意可知，G是AC的中点．∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF.又BC＝BE，∴F是EC的中点．在△AEC中，连接FG(图略)，则FG∥AE.又AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD.
