高考数学一轮复习 专题03 简单逻辑连接词、全称量词与存在量词（含解析）-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

专题03简单逻辑连接词、全称量词与必存在量词一、【知识精讲】1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，﹁p的真假判断pqp∧qp∨q﹁p真真真真假pqp∧qp∨q﹁p真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃3.全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，﹁p(x0)∀x∈M，﹁p(x)二、【典例精练】例1.(1)(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cosx是偶函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．(﹁p)∨(﹁q)C．(﹁p)∧qD．p∧(﹁q)(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是()A．p∧(﹁q)B．(﹁p)∧qC．p∧qD．(﹁p)∨q【答案】(1)B(2)A[解析](1)命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2cosx，则f(－x)＝2cos(－x)＝2cosx＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cosx是偶函数，所以q是真命题，所以p∧q是真命题，故选A．(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋＝>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x成立，故命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选A.【方法小结】判断含有逻辑联结词命题真假的步骤例2.(1)下列命题中，真命题是()A．∀x∈R，x2－x－1＞0B．∀α，β∈R，sin(α＋β)＜sinα＋sinβC．∃x∈R，x2－x＋1＝0D．∃α，β∈R，sin(α＋β)＝cosα＋cosβ(2)对命题∃x0>0，x>2x0，下列说法正确的是()A．真命题，其否定是∃x0≤0，x≤2x0B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2xC．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2xD．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x【答案】（1）D，（2）C【解析】（1）因为x2－x－1＝－≥－，所以A是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，所以B是假命题．x2－x＋1＝＋≥，所以C是假命题．当α＝β＝时，有sin(α＋β)＝cosα＋cosβ，所以D是真命题，故选D．](2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.【方法小结】1.全称命题、特称命题的真假判断方法1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证px成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得px0不成立即可.2）要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使px0成立即可，否则，这一特称命题就是假命题.2.全称命题与特称命题的否定1）改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写.2）否定结论：对原命题的结论进行否定.例3.已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．【解析】依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2