考点规范练41双曲线、抛物线一、基础巩固1.(2018浙江,2)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是()A.(-√2,0),(√2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-√2),(0,√2)D.(0,-2),(0,2)2.“k<9”是“方程x225-k+y2k-9=1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2018全国Ⅱ,理5)若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为()A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±√22xD.y=±√32x4.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,C的焦点为F,则直线AF的斜率为()A.-43B.-1C.-34D.-125.已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.13B.12C.23D.326.(2018全国Ⅲ,理11)设F1,F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=√6|OP|,则C的离心率为()A.√5B.2C.√3D.√27.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上存在一点P,点P与坐标原点O、右焦点F2构成正三角形,则双曲线的离心率为.8.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|=.9.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为√2,且过点(4,-√10),点M(3,m)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)求证:⃗MF1·⃗MF2=0;(3)求△F1MF2的面积.10.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2√2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,+∞)B.[√102,+∞)C.(1,√102]D.(1,52]13.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.14.已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2√13,椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程;(2)若P为这两条曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.15.(2018全国Ⅱ,理19)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.三、高考预测16.已知抛物线x2=2py(p>0)的顶点到焦点的距离为1,过点P(0,p)作直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中x1>x2.(1)若直线AB的斜率为12,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程;(2)若⃗AP=λ⃗PB,是否存在异于点P的点Q,使得对任意λ,都有⃗QP⊥(⃗QA-λ⃗QB)?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.考点规范练41双曲线、抛物线1.B解析 a2=3,b2=1,∴c2=a2+b2=3+1=4.∴c=2.又焦点在x轴上,∴焦点坐标为(-2,0),(2,0).2.A解析 方程x225-k+y2k-9=1表示双曲线,∴(25-k)·(k-9)<0,∴k<9或k>25,∴“k<9”是“方程x225-k+y2k-9=1表示双曲线”的充分不必要条件,故选A.3.A解析 e=ca=√3,∴c2a2=b2+a2a2=(ba)2+1=3.∴ba=√2. 双曲线的焦点在x轴上,∴渐近线方程为y=±bax,∴渐近线方程为y=±√2x.4.C解析由已知得准线方程为x=-2,所以F的坐标为(2,0).又A(-2,3),所以直线AF的斜率为k=3-0-2-2=-34.5.D解析由题意可知双曲线的右焦点为F(2,0),将x=2代入双曲线C的方程,得4-y23=1,解得y=±3.不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以AP∥x轴,又PF⊥x轴,所以AP⊥PF,所以S△APF=12|PF|·|AP|=12×3×1=32.6.C解析由题意画图,如图所示,|PF2|=b,|OP|=a,由题意,得|PF1|=√6a.设双曲线的渐近线OP的倾斜角为θ.∴在△OPF1中,由余弦定理知cos(180°-θ)=a2+c2-(√6a)22ac=c2-5a22ac=-cosθ.又cosθ=ac,∴c2-5a22ac=-ac,解得c2=3a2.∴e=√3.7.√3+1解析由题意可知要使三角形OPF2为正三角形,则P(12c,√32c).因为点P在双曲线上,所以c24a2−3c24b2=1,结合b2=c2-a2及e=ca...
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