考点规范练36立体几何中的向量方法一、基础巩固1.直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面α,则x的值为()A.-2B.-√2C.√2D.±√22.已知平面α的一个法向量为n=(1,-√3,0),则y轴与平面α所成的角的大小为()A.π6B.π3C.π4D.5π63.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,AB=√2,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为()A.(1,1,1)B.(√23,√23,1)C.(√22,√22,1)D.(√24,√24,1)4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上,且⃗AM=12⃗MC1,N为B1B的中点,则|⃗MN|为()A.√216aB.√66aC.√156aD.√153a5.如图,过正方形ABCD的顶点A,作PA⊥平面ABCD.若PA=BA,则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()A.√22B.√155C.√64D.√637.如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角为.8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,且⃗AB=(2,-1,-4),⃗AD=(4,2,0),⃗AP=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③⃗AP是平面ABCD的法向量;④⃗AP∥⃗BD.其中正确的是.(填序号)9.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹为.(填序号)10.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=√5.(1)求证:PD⊥平面PAB.(2)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求AMAP的值;若不存在,说明理由.11.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.(1)证明:直线CE∥平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.二、能力提升12.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是()A.[√33,1]B.[√63,1]C.[√63,2√23]D.[2√23,1]14.如图,等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C-AB-D的余弦值为√33,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值等于.15.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(1)求证:MN∥平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值;(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为√721,求线段AH的长.三、高考预测16.如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.(1)求证:AO⊥BE;(2)求二面角F-AE-B的余弦值;(3)若BE⊥平面AOC,求a的值.考点规范练36立体几何中的向量方法1.D解析当线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±√2.2.B解析可知y轴的方向向量为m=(0,1,0),设y轴与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cos|. cos=m·n|m||n|=-√32×1=-√32,∴sinθ=√32,∴θ=π3.3.C解析设M(x,x,1).由已知得A(√2,√2,0),B(0,√2,0),D(√2,0,0),E(0,0,1),则⃗AM=(x-√2,x-√2,1),⃗BD=(√2,-√2,0),⃗BE=(0,-√2,1).设平面BDE的一个法向量为n=(a,b,c),则{n⊥⃗BD,n⊥⃗BE,即{√2a-√2b=0,-√2b+c=0.解得{a=b,c=√2b.令b=1,则n=(1,1,√2).又AM∥平面BDE,所以n·⃗AM=0,即2(x-√2)+√2=0,得x=√22.所以M(√22,√22,1).4.A解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,a2).设M(x,y,z), 点M在AC1上,且⃗AM=12⃗MC1,∴(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z).∴x=23a,y=a3,z=a3,得M(2a3,a3,a3).∴|⃗MN|=√(a-23a)2+(a-a3)2+(a2-a3)2=√216a.5.B解析(方法一)建立如图①所示的空间直角坐标系,不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面ABP与平面...
VIP
