第31讲复数夯实基础【p71】【学习目标】1．理解复数的有关概念，以及复数相等的充要条件．2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算．3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义．【基础检测】1．设i为虚数单位，则(1＋i)4＝()A．－4B．4C．－4iD．4i【解析】(1＋i)4＝(2i)2＝－4，选A.【答案】A2．已知复数z＝(i为虚数单位)，则z的虚部为()A．－1B．0C．1D．i【解析】因为z＝＝＝，故虚部为1.故选C.【答案】C3．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，若1＋i＝x＋(y－1)i，则|z|＝()A．2B.C.D．5【解析】由复数相等的充分必要条件有：即则z＝1＋2i，|z|＝＝.故选C.【答案】C4．已知i是虚数单位，复数z是z的共轭复数，复数z＝＋3i－1，则下面说法正确的是()A．z在复平面内对应的点落在第四象限B.z＝2＋2iC.的虚部为1D.＝2【解析】复数z＝＋3i－1＝＋3i－1＝－i－1＋3i－1＝－2＋2i，则z在复平面内对应的点(－2，2)落在第二象限，z＝－2－2i，＝＝＝－1＋i，其虚部为1，＝.因此只有C正确．故选C.【答案】C【知识要点】1．复数的概念(1)复数：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作__复数__，其中i叫作__虚数单位__，全体复数所构成的集合C叫作__复数集__．(2)复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．这一表示形式叫作复数的__代数形式__，其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部．(3)复数的相等：复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di相等的充要条件是__a＝c且b＝d__，即a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.(4)复数的分类：对于复数a＋bi，当且仅当__b＝0__时，它是实数；当且仅当__a＝b＝0__时，它是实数0；当b≠0时，叫作__虚数__；当a＝0且b≠0时，叫作__纯虚数__．2．复数的几何意义(1)复平面：如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴．显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数与点：复数集C和复平面内所有点所成的集合是一一对应的，即Ｋ，这是复数的一种几何意义．(3)复数与向量：复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi←――→平面向量OZ＝(a，b)，这是复数的另一种几何意义(如图所示)．即有：(4)复数的模：向量OZ的模r叫作复数z＝a＋bi的__模__，记作|z|或|a＋bi|.特别地，若b＝0，则z＝a＋bi＝a是__实数__，它的模为|a|(即a的绝对值)．显然，|z|＝|a＋bi|＝r＝____(r≥0，r∈R)．3．复数的加减法及其几何意义(1)复数的加法①法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__(a＋c)＋(b＋d)i__，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数．②运算律：∀z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．③几何意义：设OZ1，OZ2分别与复数a＋bi，c＋di对应，则有OZ1＝(a，b)，OZ2＝(c，d)，由平面向量的坐标运算，有OZ1＋OZ2＝(a＋c，b＋d)，即OZ1＋OZ2是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，故复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义．(2)复数的减法①法则：(a＋bi)－(c＋di)＝__(a－c)＋(b－d)i__，显然，两个复数的差是一个确定的复数．②减法的几何意义：复数的减法满足向量的三角形法则，如图所示，OZ1－OZ2＝__(a－c，b－d)__，即向量OZ1－OZ2与复数__(a－c)＋(b－d)i__对应．(3)对于复数z而言，|z－(a＋bi)|＝r(r>0)(其中a∈R，b∈R)表示复平面内复数z对应的点的轨迹为以(a，b)为圆心，r为半径的圆．4．复数的乘除法(1)复数的乘法①法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝__(ac－bd)＋(bc＋ad)i__．由此可见，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．显然，两个复数的积仍是一个确定的复数．②运算律：∀z1，z2，z3∈C，有：z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.③i的运算律：特别地，i4n＋1＝i，i...
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