第27讲平面向量的概念及线性运算夯实基础【p63】【学习目标】1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．2．理解向量的加法和减法及几何意义．3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．【基础检测】1．已知两点A(4，1)，B(7，－3)，则与向量AB同向的单位向量是()A．±B.C.D.【解析】因为A、B两点的坐标为A(4，1)，B(7，－3)，所以AB＝(3，－4)，所以|AB|＝5，所以与向量AB同向的单位向量为.故选C.【答案】C2．如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若AB＝a，AC＝b，则AO＝()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b【解析】由题意，在△ABC中，BE是边AC上的中线，所以AE＝AC，又因为O为BE的中点，所以AO＝(AB＋AE)＝AB＋AE＝a＋b，故选B.【答案】B3．下列命题中：①a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R，使得b＝λa；②若e为单位向量，且a∥e，则a＝±|a|·e；③|a·a·a|＝|a|3；④若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若a·b＝b·c且b≠0，则a＝c.其中正确命题的序号是()A．①⑤B．②③C．②③④D．①④⑤【解析】对于①，根据共线向量的定理可知，当a≠0时此命题才正确，所以此命题错误；对于②，根据共线向量和单位向量的定义可知，两向量共线方向相反或相同，所以此命题正确；对于③，根据向量数量积的性质a·a＝a2＝|a|2知道此命题正确；对于④，向量的平行不具有传递性，当b≠0时才满足传递性，所以此命题错误；对于⑤，由已知得(a－c)·b＝0且b≠0，则a与c相等或不相等，因为当(a－c)⊥b也正确，所以此命题错误，所以选B.【答案】B4．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．【解析】由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴解得【答案】－【知识要点】1．向量的有关概念(1)向量：__既有大小又有方向的量__叫向量．一般用a，b，c，…来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母来表示，如：AB.向量的大小，即向量的长度(或称模)，记作|AB|.(2)零向量：__长度为零__的向量，记作0，其方向是任意的．我们规定：零向量和任何向量平行．(3)单位向量：__长度等于1个__单位长度的向量．与非零向量a同向的单位向量为，与a反向的单位向量为－.(4)相等向量：长度相等且__方向相同__的向量．相等向量经过平移后总可以重合，记为a＝b.(5)平行向量：方向__相同或相反__的非零向量，叫作共线向量，因此任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上．2．向量的加、减运算．(1)向量加、减法的定义．求两个向量和的运算叫作向量的加法；若__b＋x＝a__，则向量x叫作a与b的差．(2)向量加、减法的几何意义．①向量加法的几何意义向量的加法符合平行四边形法则和__三角形法则__．如图所示的向量AC＝a＋b.②向量减法的几何意义向量的减法符合__三角形法则__．如图所示的向量BA＝a－b(以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量)．③常用结论M为△AOB边AB的中点，则OM＝(OA＋OB)．(3)①线段中点的向量表示：若M是线段AB的中点，O是平面内任一点，则OM＝.②向量加法的多边形法则：有限个向量a1，a2，…，an相加，可以从点O出发，逐一作向量OA1＝a1，A1A2＝a2，…，An－1An＝an，则向量OAn是这些向量的和，即a1＋a2＋…＋an＝OA1＋A1A2＋…＋An－1An＝OAn(向量加法的多边形法则)．当An和O重合时(即上述折线OA1A2…An成封闭折线时)，和向量为零向量．3．向量的数乘运算(1)数乘向量的定义实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：|λa|＝|λ||a|；当λ>0时，λa与a的__方向相同__；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，__λa＝0__．(2)数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义就是把向量a沿a的方向或a的反方向伸长或缩短．(3)数乘向量的运算律设λ、μ为实数，则(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(μa)＝(λμ)a；λ(a＋b)＝λa＋λb.(4)共线向量(平行向量基本定理)若a＝λb，则a∥b；反之，若a∥b(b≠0)，则一定存在一个实数λ，使a＝λb.4．向量的有关概念名称定义备注向量既有__大小__又有方向的量；向量的大小叫作向量的__长度__(或称__模__)平面向量是自由向量零向量长度为__0__的向量；其方向是...
