第20讲任意角和弧度制及任意角的三角函数夯实基础【p43】【学习目标】1．了解任意角的概念与弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；2．理解任意角三角函数(正弦，余弦，正切)的定义．【基础检测】1．将－300°化为弧度为()A．－B．－C．－D．－【解析】－300°＝－300×＝－.【答案】B2．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sinα＋cosα的值等于()A．－B.C．－D.【解析】因为角α的终边过点P(4，－3)，r＝OP＝5，所以利用三角函数的定义，求得sinα＝－，cosα＝，∴2sinα＋cosα＝－×2＋＝－.【答案】A3．半径为2，圆心角为60°的扇形面积为()A．120B．240C.D.【解析】因为扇形的圆心角为θ＝，半径为2，所以弧长l＝θr＝，∴S＝lr＝××2＝.【答案】C4．如果2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为()A．sin2B.C．2sin1D．tan1【解析】由图可知：弦长AB＝2，所以半径为，由弧长公式可得：lAB＝αr＝.【答案】B5．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边位于第四象限，且与单位圆交于点，则sinα＝________．【解析】 角α以Ox为始边，终边位于第四象限，且与单位圆交于点，∴y＝－＝－，∴sinα＝＝＝－.【答案】－【知识要点】1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝rad；②1rad＝°弧长公式弧长l＝__|α|r__扇形面积公式S＝__lr__＝__|α|r2__3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么__y__叫做α的正弦，记作sinα__x__叫做α的余弦，记作cosα____叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段__MP__为正弦线有向线段__OM__为余弦线有向线段__AT__为正切线表中：M：垂足，P：α终边与单位圆交点，O(0，0)，A(1，0)，T：单位圆的切线与α终边或反向延长线的交点．典例剖析【p44】考点1象限角及终边相同的角(1)若角α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在()A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限【解析】α＝45°＋k·180°，k∈Z，当k＝0时，α＝45°，此时α为第一象限角，排除C，D；当k＝1时，α＝225°，此时α是第三象限角，排除B；∴角α的终边落在第一或第三象限角，故选A.【答案】A(2)与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}【解析】 －457°角的终边与角－457°＋720°＝263°的终边相同，∴与－457°角的终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}．【答案】C(3)若α是第三象限的角，则180°－α是第________象限角．【解析】若α是第三象限的角，则180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z.所以－90°－k·360°<180°－α<－k·360°，k∈Z，所以180°－α是第四象限角．【答案】四【点评】1.终边在某直线上角的求法4步骤：(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2．确定kα，(k∈N*)的终边位置3步骤：(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或的范围；(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置．考点2弧度制及其应用已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝75°，R＝12cm，求扇形的弧长l和面积；(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解析】(1)α＝75°＝，l＝12×＝5π(cm)．所以S＝lR＝30π(cm2)．(2)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大...
