第67讲双曲线夯实基础【p152】【学习目标】1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程以及它的简单几何性质．2．理解数形结合的思想．3．了解双曲线的实际背景及其简单应用．【基础检测】1．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝()A．1或5B．6C．7D．9【解析】由双曲线的方程，渐近线的方程可得：＝，解得a＝2.由双曲线的定义可得：||PF2|－3|＝2a＝4，解得|PF2|＝7.【答案】C2．双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则E的离心率为()A．2B.C．2D．2【解析】由题意，双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即＝，所以双曲线的离心率为e＝＝＝＝2.【答案】C3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为()A．x2－＝1B.－y2＝1C.－y2＝1D．x2－＝1【解析】设双曲线的焦距为2c，由双曲线的一个顶点与较近焦点的距离为1，∴c－a＝1，又e＝＝2，由以上两式可得a＝1，c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，∴双曲线的方程为x2－＝1.【答案】A4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐进线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±2x【解析】根据题意可设A(－a，0)，B(a，0)，设P点为(x，y)，根据题意得到3＝，－＝1，从而渐近线方程为－＝0，化简为：y＝±x.【答案】C5．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点为F1，F2，过焦点且与渐近线平行的直线与双曲线相交于点M，则△MF1F2的面积为__________．【解析】双曲线的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，渐近线方程为y＝±x，过F2与一条渐近线平行的直线方程为y＝(x－5)，由得即M，∴S△F1MF2＝×10×＝.【答案】【知识要点】1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做__双曲线__．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥__a__或x≤__－a__y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点离心率e＝，e∈__(1，＋∞)__，其中c＝实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫半实轴，b叫半虚轴.典例剖析【p153】考点1双曲线的定义及应用(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________________．【解析】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．【答案】x2－＝1(x≤－1)(2)点F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆半径r的取值范围是()A．(0，)B．(0，2)C．(0，)D．(0，1)【解析】如图所示，设△PF1F2的内切圆圆心为I，内切圆与三边分别相切于点A，B，C，根据圆的切线可知：|PB|＝|PC|，|F1A|＝|F1C|，|F2A|＝|F2B|，又根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，即(|PC|＋|F1C|)－(|PB|＋|F2B|)＝2a，所以|F1C|－|F2B|＝2a，即|F1A|－|F2A|＝2a，又因为|F1A|＋|F2A|＝2c，所以|F1A|＝a＋c，|F2A|＝c－a，所以A点为右顶点，即圆心I(a，r)，考虑P点在无穷远时，直线PF1的斜率趋近于，此时PF1方程为y＝(x＋c)，此时圆心到直线的距离为＝r，解得r＝b，因此△PF1F2内切圆半径r∈(0，b)，所以选择A.【答案】A考点2求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离...
