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高考数学总复习 第二章 函数 第6讲 函数的值域与最值练习 文(含解析)新人教A版-新人教A版高三数学试题VIP专享VIP免费

高考数学总复习 第二章 函数 第6讲 函数的值域与最值练习 文(含解析)新人教A版-新人教A版高三数学试题_第1页
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第6讲函数的值域与最值夯实基础【p15】【学习目标】理解函数值域与最值的意义;熟练掌握基本初等函数的值域;掌握求函数的值域和最值的基本方法.【基础检测】1.已知集合A={x|y=},B={y|y=x2+1},则A∩B=()A.B.[-1,1]C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【解析】A={x|y=}={x|x≥-1},B={y|y=x2+1}={y|y≥1}.所以A∩B=[1,+∞).【答案】D2.定义在R上的函数y=f(x)的值域为[a,b],则函数y=f(x)+1的值域为()A.[a,b]B.[a+1,b+1]C.[a-1,b-1]D.无法确定【解析】 f(x)的值域为[a,b],∴f(x)∈[a,b],∴f(x)+1∈[a+1,b+1].故选B.【答案】B3.下列四个函数:①y=3-x;②y=2x-1(x>0);③y=x2+2x-10;④y=其中定义域与值域相同的函数有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】①y=3-x的定义域和值域均为R.②y=2x-1(x>0)定义域为(0,+∞),值域为.③y=x2+2x-10定义域为R,值域为{y|y≥-11}.④y=的定义域和值域均为R.定义域与值域相同的函数是①④,共两个,故选B.【答案】B4.函数y=x2-2x(-2≤x≤4,x∈Z)的值域为____________.【解析】根据-2≤x≤4,x∈Z,确定x的值,代入函数解析式,即可求得函数的值域.【答案】【知识要点】1.函数的值域函数的值域是__函数值__的集合,记为{y|y=f(x),x∈A},其中A为f(x)的定义域.2.常见函数的值域(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为__R__.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当a>0时,值域为____;当a<0时,值域为____.(3)反比例函数y=(k≠0)的值域为__(-∞,0)∪(0,+∞)__.(4)指数函数y=ax(a>0且a≠1)的值域为__(0,+∞)__.(5)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的值域为__R__.(6)正、余弦函数y=sinx,y=cosx的值域为__[-1,1]__;正切函数的值域为__R__.3.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I,都有__f(x)≤M__;(3)对于任意的x∈I,都有__f(x)≥M__;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.(4)存在x0∈I,使得f(x0)=M.结论M为最大值M为最小值典例剖析【p15】考点1函数值域的求法求下列函数的值域.(1)y=;(2)f(x)=|1-x|-|x-3|,x∈R;(3)y=x+4;(4)y=.【解析】(1) y==-1+,且x2+1≥1,∴0<≤2,∴-1<-1+≤1,∴函数y=的值域是(-1,1].(2)f(x)=|1-x|-|x-3|=|x-1|-|x-3|,利用绝对值的几何意义可知f(x)表示x到1的距离与x到3的距离之差,结合数轴可知值域为[-2,2].(3)换元法:设t=≥0,则x=1-t2,∴原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t≥0),∴y≤5,∴原函数值域为(-∞,5].(4)y===x+=x-++, x>,∴x->0,∴x-+≥2=,当且仅当x-=时,即x=时等号成立.∴y≥+,∴原函数的值域为.【小结】求函数的值域常用的方法:(1)观察法:对于一些较为简单的函数,其值域可通过观察法得到;(2)利用常见函数的值域来求;(3)单调性法:若为单调函数,可利用单调性直接求解.(4)分离常数法:即将分式转化为“反比例型”函数,再求值域;(5)换元法:换元时,务必注意新变量的取值范围,否则将会扩大取值范围.(6)不等式法:用基本不等式、绝对值不等式等求.考点2函数最值的求法求下列函数的最值.(1)y=x3-4x2+4x,x∈[0,3];(2)y=,0<x<π.【解析】(1)y′=3x2-8x+4=(3x-2)(x-2),令y′=0得x=2或x=,而f(0)=0,f(2)=0,f=,f(3)=3,∴当x=3时,ymax=3;当x=0或2时,ymin=0.(2)y=sinx+,x∈(0,π).令sinx=t,则t∈(0,1],y=t+≥2,当且仅当t=1时,ymin=2,故当x=时,ymin=2,无最大值.【小结】如第(1)题,连续的函数在闭区间上一定有最大、最小值,它们一定在端点或极值点处取得,第(2)题则转化为用基本不等式求最值.考点3含参函数值域和最值问题已知函数f(x)=x3+|x-a|(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(2)当a∈(0,1)时,求f(x)在区间[-1,1]上的最小值(用a表示).【解析】(1)当a=1,x<1时,f(x)=x3+1-x,f′(x)=3x2-1,所以f(0)=1,f′(0)=-1,所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=-x+1.(2)当a∈(0,1)时,由...

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