第49讲互斥事件和独立事件的概率及条件概率夯实基础【p106】【学习目标】1．了解互斥事件，相互独立事件和条件概率的意义及其运算公式．2．理解独立重复试验的模型，会计算事件在n次独立重复试验中发生k次的概率．【基础检测】1．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.4B．0.6C．0.75D．0.8【解析】设“某一天的空气质量为优良”为事件A，“随后一天的空气质量为优良”为事件B，则P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，∴P(B|A)＝＝＝0.8.【答案】D2．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为()A.B.C.D.【解析】设甲同学收到李老师的信息为事件A，收到张老师的信息为事件B，A、B相互独立，P(A)＝P(B)＝＝，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为P＝1－P(AB)＝1－(1－P(A))(1－P(B))＝1－×＝.【答案】C3．某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立．若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为()A．0.23B．0.2C．0.16D．0.1【解析】A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立，若A射击一次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，故概率为0.1；若A射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为0.2×0.2＝0.04；或者A第一次没有击中机尾、且第二次击中了机尾，概率为0.9×0.1＝0.09，若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为0.1＋0.04＋0.09＝0.23.【答案】A4．一个盒子中装有4只产品，其中3只是一等品，1只是二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B是“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)＝________．(P(B|A)为A在发生的条件下B发生的概率)【解析】将产品进行编号，1，2，3号为一等品，4号为二等品，用(i，j)表示第一次、第二次分别取到第i号、第j号产品(i，j＝1，2，3，4)，则试验的基本事件空间为{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．则事件A包含9个基本事件，事件AB包含有6个基本事件，根据条件概率公式P(B|A)＝＝＝.【答案】【知识要点】1．互斥事件与对立事件(1)互斥事件：若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．(2)对立事件：若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．2．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：__0≤P(A)≤1__．(2)互斥事件的概率加法公式：①P(A∪B)＝__P(A＋B)__＝__P(A)＋P(B)__(A，B互斥)．②P(A1∪A2∪…∪An)＝__P(A1)∪P(A2)∪…∪P(An)__或P(A1＋A2＋…＋An)＝__P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)__．(A1，A2，…，An互斥)．③对立事件的概率：P(A)＝__1－P(A)__．3．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为__P(B|A)＝__．(2)条件概率具有的性质：①__0≤P(B|A)≤1__；②如果B和C是两个互斥事件，则__P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)__．4．相互独立事件(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称__事件A与事件B相互独立__．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝__P(B)__，P(AB)＝__P(A)P(B)__．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．5．独立重复试验与二项分布(1)两个相互独立事件A，B同时发生的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)，此公式可推广到n个相互独立事件，则P(A1·A2·…·An)＝P(A1)·P(A2)...
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