第五节指数与指数函数A组基础题组1.若a=(2+)-1,b=(2-)-1,则(a+1)-2+(b+1)-2的值是()A.1B.C.D.2.(2015北京丰台一模)已知奇函数y=如果f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,那么g(x)=()A.B.-C.2-xD.-2x3.(2016课标全国Ⅲ,6,5分)已知a=,b=,c=2,则()A.b
0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是()A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]5.函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是()A.f(-4)>f(1)B.f(-4)=f(1)C.f(-4)0,且a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的表达式;(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.10.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.(1)当a=1时,求函数f(x)在x∈[-3,0]上的值域;(2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.B组提升题组11.(2014北京顺义统练)已知a>0且a≠1,函数f(x)=满足对任意实数x1,x2,且x1≠x2,都有>0成立,则a的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.D.12.(2014北京丰台一模)已知函数f(x)=2x,点P(a,b)在函数y=(x>0)的图象上,那么f(a)·f(b)的最小值是.13.设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,求a的值.14.已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性;(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.答案精解精析A组基础题组1.D2.D3.A因为a==,c=2=,函数y=在(0,+∞)上单调递增,所以<,即a0,所以a=,因此f(x)=.根据复合函数的单调性可知f(x)的单调递减区间是[2,+∞).5.A由题意知a>1,所以f(-4)=a3,f(1)=a2,由y=ax(a>1)的单调性知a3>a2,所以f(-4)>f(1).6.答案-1解析∵对任意的实数x都有f(-x)+f(x)=0成立,即2-x+a·2x+2x+a·2-x=0恒成立,∴(a+1)=0恒成立,故有a+1=0,则a=-1.7.答案log23解析log23>log22=1,2-3=∈(0,1),cosπ=-1,∴这三个数中log23最大.8.答案3解析令y=f(x)=2|x|,x∈[-2,a],则f(x)=(1)当a=0时,f(x)=2-x在[-2,0]上为减函数,值域为[1,4].(2)当a>0时,f(x)在[-2,0)上递减,在[0,a]上递增,①当02时,f(x)max=f(a)=2a>4,函数的值域为[1,2a].综合(1)(2),可知[m,n]的长度的最小值为3.9.解析(1)因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24),所以解得a2=4,又a>0,所以a=2,则b=3.所以f(x)=3·2x.(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(-∞,1]时,+-m≥0恒成立,即m≤+在x∈(-∞,1]时恒成立.因为y=与y=均为减函数,所以y=+也是减函数,所以当x=1时,y=+在(-∞,1]上取得最小值,且最小值为,所以m≤,即m的取值范围是.10.解析(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1=2(2x)2-2x-1,令t=2x,则t∈.故y=2t2-t-1=2-,t∈,故y∈.即f(x)在x∈[-3,0]上的值域为.(2)令m=2x,则m∈(0,+∞).关于x的方程2a(2x)2-2x-1=0有解等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解.记g(m)=2am2-m-1,当a=0时,m=-1<0,不符合题意.当a<0时,g(m)图象的开口向下,对称轴为m=<0,图象过点(0,-1),不符合题意.当a>0时,g(m)图象的开口向上,对称轴m=>0,图象过点(0,-1),必有一个根为正,所以a>0.综上所述,a的取值范围是(0,+∞).B组提升题组11.C由已知得函数y=f(x)在R上单调递增,故解得10,b>0,且ab=1,∴f(a)·f(b)=2a·2b=2a+b≥=22=4,当且仅当a=b=1时,f(a)·f(b)取得最小值4.13.解析令t=ax(a>0且a≠1),则原函数可化为y=f(t)=(t+1)2-2(t>0).①当01时,由x∈[-1,1],得t=ax∈,此时f(t)在上是增函数.所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,所以(a+1)2=16,即a=-5(舍去)或a=3.综上,a=或a=3.14.解析(1)∵f(x)=ex-,∴f'(x)=ex+,∴f'(x)>0对任意x∈R都成立,∴f(x)在R上是增函数.∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)存在.理由如下:由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数,则f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R都成立⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R都成立⇔t2+t≤x2+x=-对一切x∈R都成立⇔t2+t≤(x2+x)min=-⇔t2+t+=≤0,又≥0,∴=0,∴t=-,∴存在t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立.
