第三章效用函数§3—1效用的定义和公理系统一、引言·为什么要引入效用决策问题的特点：自然状态不确定——以主观概率表示；后果价值待定——以效用度量。1.无形后果，非数字量(如信誉、威信、出门带伞问题的后果)需以数值度量；2.即使是数值量(例如货币)表示的后果，其价值仍有待确定，后果的价值因人而异。例一：同是100元钱，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一个人，身无分文时的100元，与已有10000元再增加100元的作用不同，这是钱的边际价值问题。例二：上图作为商业、经营中实际问题的数学模型有普遍意义。有人认为打赌不如礼品，即*由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述(表达)后果的实际价值，以便反映决策人偏好次序(preferenceorder)的问题*偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会、经济地位，文化素养，心理和生理(身体)状态有关。如工资/工作时间权衡，年龄对带伞与否的影响。*除风险偏好之外，还有时间偏好。i.折扣率；ii.其他。礼品抽奖10.50.51000元02500元1000元优于02500元0.50.5而效用(Utility)就是偏好的量化，是数(实值函数)。DanielBernoulli在1738年指出：“若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择各种可能后果中偏好期望值最高的行动。”二、效用的定义1.符号i.ab(即aPb)读作“a优于b”(aispreferredtob)。：严格序a≧b(即aRb)“a不劣于b”。≧：弱序a～b(即aIb)“a无差别于b”(I:indifference)。～：无差异ii.展望(prospect):或称“预期”，可能的前景即各种后果及后果出现概率的组合P=(……)既考虑各种后果(consequence)又考虑了各种后果的概率(probabilityorlikelihood)分布复合展望所有P的集合记作piii.抽奖(lottery)与确定当量（certaintyequivalent）抽奖L2=<;>。若L2则称确定性后果为抽奖L2的确定当量2.效用的定义(A)在集合p上的实值函数u，若它和p上的优先关系≥一致，即:若p,≥当且仅当u()≥u()则称u为效用函数效用函数定义在展望集上，而非后果集上。三、效用存在性公理（理性行为公理）VonNeumann-Morgenstern,1944·公理1连通性(Connectivity)又称可比性p,则oror·公理2传递性(Transitivity)p,若,则·公理3替代性公理(加等量时优先关系不变)若p,且01则对任何∈p,必有+(1-)+(1-)或者表达成：,则+(1-)+(1-)即二种后果中，决策人所偏好的后果出现机会较大的情况是决策人所喜爱的。·公理4连续性公理----偏好的有界性若则存在01,01,使+(1-)+(1-)由+(1-)可知不是无穷劣,即u()由+(1-)可知不是无穷优,即u()即使是死亡，亦不至于无穷劣例：i,过马路若死亡为无穷劣，则不能过马路ii,狂犬病疫苗上述公理看来是合乎理性的，事实上并不尽然.例：Allais悖论（Paradox〕例如，1953年Allais在一次学术会议上提出如下问题，请效用理论权威Savage回答Savage的回答是A组宁择i，B组宁择ii，Allais指出：B组的i,ii,均以0.89的$500,000取代0.89的$0，即与A组的i,ii相对应，照公理3、A、B两组中i,ii,的优先关系应当不变。Savage当时语塞。·效用的公理化定义在上述公理系统中，若p上存在实值函数u，使i.当且仅当u()＞u()ii.u(α,;1-α,)=αu()+(1-α)u()——线性性iii.对满足上述条件的、，必有()=b()+c,其中b,c∈,b＞0则u(P)称为(基数)效用函数*关于线性：将ii.u(α,;1-α,)=αu()+(1-α)u()推广到一般,若∈p;≥0,i=1,2,…m;=1;则u()=u()四、基数效用与序数效用(Cardinal&OrdinalUtility)i.ABi.ii.ii.$2,500,000$500,000$500,000$0$0$0$0$0$0$0$0$500,000$500,000$2,500,0001.0.89.1.01.11.89.1.9基数：实数：2，2.01,100……序数：第1，2，…·区别：1.基数效用定义在展望集p上(考虑后果及其概率分布),是实数;序数效用定义在后果集C上，不涉及概率，可以是自然数2.基数效用反映偏好强度：(正线性变换下唯一)原数列可变换为:b+c,2b+c,3b+c,πb+c;其中b,c∈,b＞0.而序数效用不反映偏好强度，(保序变换下唯一),原序数列可...
