第2课时矩形、菱形与正方形1．(2019·杭州)如图,已知点P是矩形ABCD内一点(不含边界),设∠PAD＝θ1,∠PBA＝θ2,∠PCB＝θ3,∠PDC＝θ4,若∠APB＝80°,∠CPD＝50°,则(A)A．(θ1＋θ4)－(θ2＋θ3)＝30°B．(θ2＋θ4)－(θ1＋θ3)＝40°C．(θ1＋θ2)－(θ3＋θ4)＝70°D．(θ1＋θ2)＋(θ3＋θ4)＝180°2．(原创题)四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件不能判定它是矩形的是(C)A．AB＝CD,AB∥CD,∠BAD＝90°B．AO＝CO,BO＝DO,AC＝BDC．∠BAD＝∠ABC＝90°,∠BCD＋∠ADC＝180°D．∠BAD＝∠BCD,∠ABC＝∠ADC＝90°3．(2017·安徽二模)如图,四边形ABCD中,对角线相交于点O.E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点,要使四边形EFGH是菱形,则四边形ABCD需满足的条件是(D)A．AB＝ADB．AC＝BDC．AD＝BCD．AB＝CD4．(2019·宿迁)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为边CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,∠BAD＝60°,则△OCE的面积是(A)A．B．2C．2D．45．(改编题)如图,矩形ABCD中,AB＞AD,AB＝a,AN平分∠DAB,则C,D两点到直线AN的距离之和是(B)A．aB．aC．aD．a6．(2019·合肥模拟)如图,在正方形ABCD对角线BD上截取BE＝BC,连接CE并延长交AD于点F,连接AE,过B作BG⊥AE于点G,交AD于点H,则下列结论错误的是(B)A．AH＝DFB．S四边形EFHG＝S△DEF＋S△AGHC．∠AEF＝45°D．△ABH≌△DCF7．(2019·株洲)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O,AC＝10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为__2.5__.8．(2019·上海)对于一个位置确定的图形,如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上,且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图1),那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽,铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图2,菱形ABCD的边长为1,边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的,那么它的宽的值是____.9．(2019·江西)在正方形ABCD中,AB＝6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD＝2AP,则AP的长为__2或2或－__.10．(原创题)如图,在矩形ABCD中,AB＝2BC,E为CD上一点,且AE＝AB,M为AE的中点．下列结论：①DM＝DA；②EB平分∠AEC；③S△ABE＝S△ADE；④＝8－4.其中正确的有__①②④__(只填序号)．11．(2019·郴州)如图,在平行四边形ABCD中,作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC于E,F,连接BE,DF.求证：四边形BFDE是菱形．证明：∵BD垂直平分EF,∴EO＝FO,∠EOD＝∠FOB＝90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠EDO＝∠FBO,∴△EOD≌△FOB,∴OB＝OD,∵EO＝FO,EF⊥BD,∴四边形BFDE是菱形．12．(改编题)如图,将▱ABCD的边AB延长到点E,使BE＝AB,连接DE,交边BC于点F.(1)求证：△BEF≌△CDF；(2)连接BD,CE,若∠BFD＝2∠A,求证：四边形BECD是矩形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∵AB＝CD,AB∥CD,BE＝AB,∴BE＝CD,∵AB∥CD,∴∠BEF＝∠CDF,∠EBF＝∠DCF,在△BEF与△CDF中,∴△BEF≌△CDF；(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∠A＝∠DCB,∵AB＝BE,∴CD＝EB,∴四边形BECD是平行四边形,∴BF＝CF,EF＝DF,∵∠BFD＝2∠A,∴∠BFD＝2∠DCF,∴∠DCF＝∠FDC,∴DF＝CF,∴DE＝BC,∴四边形BECD是矩形．13．(2019·聊城)如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.(1)求证：AE＝BF；(2)若正方形边长是5,BE＝2,求AF的长．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝BC,∠ABC＝∠C＝90°,∵作BH⊥AE,垂足为点H,∴∠BAE＝∠CBF.在△ABE和△BCF中,∴△ABE≌△BCF,∴AE＝BF；(2)解：∵△ABE≌△BCF,∴CF＝BE＝2,∵正方形的边长为5,∴AD＝CD＝5,∴DF＝CD－CF＝5－2＝3,在Rt△ADF中,AF＝＝＝.14．如图,矩形纸片ABCD(AD＞AB)中,将它折叠,使点A与C重合,折痕EF交AD于E,交BC于F,交AC于O,连结AF,CE.(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)过E作EP⊥AD交AC于P,求证：AE2＝AO·AP；(3)若AE＝8,△ABF的面积为9,求AB＋BF的值．(1)证明：当顶点A与C重合时,折痕EF垂直平分AC,∴OA＝OC,∠AOE＝∠COF＝90°,∵在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠EAO＝∠FCO,∴△AOE≌△COF,∴OE＝OF,∴四边形AFCE是菱形；(2)证明：∵EP⊥AD,∴∠AEP＝90°,∵∠AOE＝90°,∴∠AEP＝∠AOE,∵∠EAO＝∠EAP,∴△AOE∽△AEP,∴＝,∴AE2＝AO·AP；(3)解：∵四边形AFCE是菱形,∴AF＝AE＝8,在Rt△ABF中,AB2＋BF2＝AF2,∴AB2＋BF2＝82,∴(AB＋BF)2－2AB·BF＝64①,∵△ABF的面积为9,∴AB·BF＝9,∴AB·BF＝18②,由①、②得：(AB＋BF)2＝100,∵AB＋BF＞0,∴AB＋BF＝10.
