第1页共2页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共2页例说离心率的计算策略650212云南省昆明光华学校高中部廖道忠一、利用基本参量在椭圆中，离心率e=ca=√1−b2a2，在双曲线中，e=ca=√1+b2a2.例1（1）已知椭圆上的动点P到椭圆的一个焦点的距离的最大值与最小值分别为8，2，则该椭圆的离心率为.（2）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，且两条渐近线的方程为3x+4y=0,3x−4y=0，则双曲线的离心率为.解：（1）由椭圆的性质得{a+c=8¿¿¿¿∴a=5,c=3，∴e=35.（2）两渐近线即y=±34x.当焦点在x轴上时，有ba=34，e=√1+b2a2=54；当焦点在y轴上时，有ba=43，e=√1+b2a2=53.故填“54或53”.二、利用第二定义由第二定义，椭圆、双曲线离心率即曲线上的动点到焦点的距离与到对应的准线的距离之比.例2已知动点M(x,y)满足√(x−1)2+(y−1)2=|√3x−y+2|，则M的轨迹曲线的离心率为.解：由√(x−1)2+(y−1)2=|√3x−y+2|得√(x−1)2+(y−1)2=2⋅|√3x−y+2|2，即动点M(x,y)到定点(1,1)的距离等于M到定直线√3x−y+2=0的距离的2倍，∴M的轨迹为双曲线，且离心率为2.三、利用“焦点三角形”我们把椭圆或双曲线上的一点P与两焦点F1、F2构成的三角形PF1F2称作“焦点第2页共2页第1页共2页F1F2NM①QNMPF2F1②yBAFxO编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共2页三角形”.在椭圆中，e=|F1F2||PF1|+|PF2|；在双曲线中，e=|F1F2|||PF1|−|PF2||.例3右图中多边形均为正多边形，图①中F1、F2为椭圆的焦点，M、N分别为所在边的中点，则椭圆的离心率为；图②中F1、F2为椭圆的焦点，M、N、P、Q分别为所在边的中点，则双曲线的离心率为.解：在椭圆中，连F1N，设正三角形的边长为2x，则|F1F2|=2x，|F2N|=x，|F1N|=√3x，∴e=|F1F2||F1N|+|F2N|=2√3+1=√3−1.在双曲线中，连F1F2,F1Q，设正六边形的边长为2x，则|F1F2|=4x，|F2Q|=x，|F1Q|=√|F1F2|2+|F2Q|2−2|F1F2|⋅|F2Q|⋅cos60°=√13x.∴e=|F1F2||F1Q|−|F2Q|=4√13−1=√13+13.四、利用参量关系式先得到a,b,c间的关系式，然后利用b2=a2−c2或b2=c2−a2化去b，得到关于a,c的齐次方程式，进而解出离心率.例4如图，椭圆的左焦点F、上顶点B与右顶点A恰好构成以B为直角顶点的直角三角形，求此椭圆的离心率e.解：ΔFBA为直角三角形，∴|FB|2+|BA|2=|FA|2.∴a2+(b2+c2)=(a+c)2，将b2=a2−c2代入，整理得c2+ac−a2=0.两边同除以a2得e2+e−1=0，∴e=−1+√52（e=−1−√52舍去）.（650212云南省昆明光华学校高中部廖道忠电子邮箱：liao-daozhong001@163.com）
