专题测试练习题 等差数列与等比数列基本量的问题VIP免费

专题18等差数列与等比数列基本量的问题【自主热身,归纳提炼】1、设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a2＋a4＝2,S2＋S4＝1,则a10＝________．【答案】.8【解析】：列方程组求出a1和d,则a10＝a1＋9d.设公差为d,则解得所以a10＝a1＋9d＝8.2、已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S15＝30,a7＝1,则S9的值为________．【答案】：－9解法1利用等差数列基本量；解法2利用等差数列的性质：①等差数列项数与项数的关系：在等差数列{an}中,若m,n,p,q∈N*且m＋n＝p＋q,则am＋an＝ap＋aq；②等差数列任两项的关系：在等差数列{an}中,若m,n∈N*且其公差为d,则am＝an＋(m－n)d.3、在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2＝1,a8＝a6＋6a4,则a3的值为________．【答案】：【解析】：由a8＝a6＋6a4得a2q6＝a2q4＋6a2q2,则有q4－q2－6＝0,所以q2＝3(舍负),又q>0,所以q＝,则a3＝a2q＝.等差、等比数列基本量的计算是高考常考题型,熟练掌握等差、等比数列的通项公式和前n项和公式是解题的关键,值得注意的是等比数列的通项公式的推广“an＝amqn－m(n>m)”的应用．4、已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且＝－,a4－a2＝－,则a3的值为________．【答案】：.【解析】：两个已知等式均可由a3和公比q表示．由已知,得解得5、记等差数列{an}的前n项和为Sn.若am＝10,S2m－1＝110,则m的值为________．【答案】：6【解析】：由S2m－1＝·(2m－1)＝[a1＋(m－1)d](2m－1)＝(2m－1)am得,110＝10(2m－1),解得m＝6.6、已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若4a4,a3,6a5成等差数列,且a3＝3a,则S3＝________．【答案】：.【解析】：设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q,则q>0,且a1>0,由4a4,a3,6a5成等差数列,得2a3＝4a4＋6a5,即2a3＝4a3q＋6a3q2,解得q＝.又由a3＝3a,解得a1＝,所以S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋＝.7、知是等比数列,是其前项和．若,,则的值为▲．【答案】2或6【解析】由,当左边=右边=显然不成立,所以,则有,因为,所以,即,所以或,所以.【易错警示】若用到等比数列的前项公式,要讨论公比是否为1；方程两边,若公因数不为0,可以同时约去,若不确定是否为0,要移项因式分解,转化成乘积为0的形式再求解,否则会漏解.8、《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则该竹子最上面一节的容积为________升．【答案】：.【解析】：设该等差数列为{an},则有S4＝3,a9＋a8＋a7＝4,即a8＝,则有即解得a1＝.9、等差数列{an}的前n项和为Sn,且an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2,n∈N*),若对任意n∈N*,总有Sn≤Sk,则k的值是________．10、若等比数列{an}的各项均为正数,且a3－a1＝2,则a5的最小值为．【答案】：．8【解析】：因为a3－a1＝2,所以,即所以,设,即,所以,当且仅当,即时取到等号.【问题探究,变式训练】例1、已知公差为d的等差数列的前n项和为Sn,若＝3,则的值为________．【答案】：.【解析】：设等差数列{an}的首项为a1,则由＝3得＝3,所以d＝4a1,所以＝＝＝.【变式1】、设是等差数列的前n项和,若,则=．【解析】由,得,由S3,S6S3,S9S6成等差数列,故S6S3=2S3,S9S6=3S3=S6,解得=．【变式2】、设是等比数列的前n项和,若,则=．【解析】由,得,由S5,S10S5,S15S10,S20S15成等差数列,故S10S5=2S5,S15S10=4S5,S20S15=8S5,所以,,,故．【变式3】、设是等比数列的前n项和,若,则=．【解析】由,得,则．【关联1】、设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn＝2an－2,则＝________.【解析】：4求出a1及an＋1与an间的递推关系．由Sn＝2an－2和Sn＋1＝2an＋1－2,两式相减得an＋1－2an＝0,即an＋1＝2an.又a1＝S1＝2,所以数列{an}是首项为2、公比q＝2的等比数列,所以＝q2＝4.【关联2】、Sn是等差数列{an}的前n项和,若＝,则＝________.【答案】：解法1由＝可得,＝＝,当n＝1时,＝,所以a2＝2a1.d＝a2－a1＝a1,所以＝＝＝.解法2＝＝,观察发现可令Sn＝n2＋n,则an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n,所以＝＝.【关联3】、已知等差数列{an}和{bn}的前n项的和分别是An和Bn,且,使得为整数的正整数n的个数为．【解析】,所以,,要使得为整数,则n+1为18的因数,n=1,2,5,8,17,所以,...