第十一篇复数、算法、推理与证明第1节数系的扩充与复数的引入【选题明细表】知识点、方法题号复数的有关概念2,10复数代数形式的运算3,6,12,13,15,16复数的几何意义4,8,9,14复数综合应用1,5,7,11基础对点练(时间:30分钟)1.(2016·安徽合肥第二次质检)若i是虚数单位,复数z=的虚部为(D)(A)-(B)-(C)(D)解析:z===+i,故选D.2.已知z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i,其中m为实数,i为虚数单位,若z1-z2=0,则m的值为(B)(A)4(B)-1(C)6(D)0解析:因为z1-z2=0,即z1=z2,所以解得m=-1.选B.3.(2016·山东卷)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z等于(B)(A)1+2i(B)1-2i(C)-1+2i(D)-1-2i解析:设z=x+yi,则2x+2yi+x-yi=3-2i.则z=1-2i.故选B.4.(2016·河南焦作一模)若复数z满足z(1+i)=|1+i|,则在复平面内z的共轭复数对应的点位于(A)(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析:复数z满足z(1+i)=|1+i|=2,所以z==1-i,复数z对应点为(1,-1),在复平面内z的共轭复数对应的点为(1,1),在第一象限.故选A.5.复数z=的实部与虚部之和为(D)(A)-3(B)4(C)3(D)-11解析:z====-7-4i,所以复数z=的实部和虚部的和是-11.故选D.6.已知复数z满足(2+i)z=1+2i+3i2+4i3(i为虚数单位),则z的共轭复数是(C)(A)+i(B)-i(C)-+I(D)--i解析:由1+2i+3i2+4i3=-2-2i,得z=-=-=-=--i,则z的共轭复数是-+i,故选C.7.(2016·江西新余一中等校联考)已知a为实数,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则的值为(D)(A)1(B)-1(C)I(D)-i解析:根据题意可求得a=1,所以==-i,故选D.8.(2016·北京卷)设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=.解析:(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i,由题意得a+1=0,a=-1.答案:-19.若复数z=对应的点在直线x+2y+5=0上,则实数a的值为.解析:因为z==(1-ai)(-i)=-a-i,所以z在复平面内对应点的坐标为(-a,-1),所以-a+3=0,所以a=3.答案:310.在复平面上,平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C对应复数分别为i,2,4+2i,则点D对应的复数为.解析:设D(x,y),因为=,所以2-i=4+2i-(x+yi),化为(2-x)+(3-y)i=0,所以2-x=0,3-y=0,解得x=2,y=3.所以第四个顶点D的坐标所对应的复数为2+3i.答案:2+3i能力提升练(时间:15分钟)11.导学号18702611如图,在复平面内,复数z1和z2对应的点分别是A和B,则等于(C)(A)+i(B)+i(C)--i(D)--i解析:由图形可得,z1=-2-i,z2=i.所以====--i,故选C.12.(2017·山西四校联考)已知复数z满足·z=3+4i,则|z|等于(D)(A)2(B)(C)5(D)5解析:法一因为===i,所以·z=3+4i可转化为iz=3+4i,所以z==4-3i,所以|z|=5.法二因为·z=3+4i,所以z=,所以|z|==|3+4i|=5.选D.13.已知z=()2016(i是虚数单位),则z等于(B)(A)-1(B)1(C)0(D)i解析:()2==-i,则()4=-1,所以()2016=[()4]504=1.故选B.14.(2016·宁德模拟)复数z=(i是虚数单位)在复平面上对应的点到原点的距离为.解析:复数z==-i(1+i)=1-i.复数z=(i是虚数单位)在复平面上对应的点(1,-1)到原点的距离为.答案:15.导学号18702612若复数z=1+2i(i是虚数单位),则(z+)·=.解析:因为(z+)·=z·+1,又z=1+2i,所以=1-2i,所以z·=(1+2i)(1-2i)=5.所以(z+)·=6.答案:616.若1+2i是方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根,则p+2q=.解析:因为1+2i是方程x2+px+q=0的根,所以(1+2i)2+p(1+2i)+q=0,所以4i-3+p+2pi+q=0,由p,q∈R及两复数相等条件知故p=-2,q=5,所以p+2q=8.答案:8好题天天练1.定义:z2=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则称复数z是复数a+bi的平方根.根据定义,则复数-3+4i的平方根是(B)(A)1-2i或-1+2i(B)1+2i或-1-2i(C)-7-24i(D)7+24i解题关键:利用复数相等的充要条件求解.解析:设(x+yi)2=-3+4i,则解得或故选B.2.导学号18702613“复数(a∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限”是“a<-1”的(B)(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解题关键:根据复数的几何意义先求出点位于第二象限时a的取值范围,再作出判断.解析:复数==.因为复数(a∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限,所以解得a<-.所以“复数(a∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限”是“a<-1”的必要不充分条件.故选B.3.若复数z=(cosθ-)+(sinθ-)i是纯虚数(i为虚数单位),则tan(θ-)的值为(A)(A)-7(B)-(C)7(D)-7或-解题关键:根据复数的概念求出tanθ的值,再利用两角差的正切公式求tan(θ-).解析:因为复数z=(cosθ-)+(sinθ-)i是纯虚数,所以解之得cosθ=,sinθ=-,所以tanθ=-,因此tan(θ-)===-7,故选A.
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