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高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第7节 正弦定理、余弦定理应用举例教师用书 文 试题VIP专享VIP免费

高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第7节 正弦定理、余弦定理应用举例教师用书 文 试题_第1页
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高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第7节 正弦定理、余弦定理应用举例教师用书 文 试题_第3页
第七节正弦定理、余弦定理应用举例————————————————————————————————[考纲传真]能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角.(如图371①).①②图3712.方位角和方向角(1)方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图371②).(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°等.1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(“√”“正确的打,错误的打×”)(1)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为.()(3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()(4)如图372,为了测量隧道口AB的长度,可测量数据a,b,γ进行计算.()图372[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2.(教材改编)海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10nmile,从A望C和B成60°视角,从B望C和A成75°视角,则BC等于()A.10nmileB.nmileC.5nmileD.5nmileD[如图,在△ABC中,AB=10,∠A=60°,∠B=75°,∠C=45°,∴=,∴BC=5.]3.若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC=BC,则点A在点B的()A.北偏东15°B.北偏西15°C.北偏东10°D.北偏西10°B[如图所示,∠ACB=90°,又AC=BC,∴∠CBA=45°,而β=30°,∴α=90°-45°-30°=15°,∴点A在点B的北偏西15°.]4.如图373,要测量底部不能到达的电视塔的高度,选择甲、乙两观测点.在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500m,则电视塔的高度是()图373A.100mB.400mC.200mD.500mD[设塔高为xm,则由已知可得BC=xm,BD=xm,由余弦定理可得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD,即3x2=x2+5002+500x,解得x=500(m).]5.如图374,已知A,B两点分别在河的两岸,某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C,测得AC=50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点的距离为()图374A.50mB.25mC.25mD.50mD[因为∠ACB=45°,∠CAB=105°,所以∠B=30°.由正弦定理可知=,即=,解得AB=50m.]测量距离问题如图375,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80≈,1.73)图37560[如图所示,过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D.在Rt△ADC中,由AD=46m,∠ACB=30°得AC=92m.在△ABC中,∠BAC=67°-30°=37°,∠ABC=180°-67°=113°,AC=92m,由正弦定理=,得=,即=,解得BC≈=60(m).][规律方法]应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步:(1)根据题意,画出示意图,并标出条件;(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形),通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解;(3)检验解出的结果是否符合实际意义,得出正确答案.[变式训练1]江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距________m.【导学号:31222134】10[如图,OM=AOtan45°=30(m),ON=AOtan30°=×30=10(m),在△MON中,由余弦定理得,MN===10(m).]测量高度问题(2015·湖北高考)如图376,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=______m.图376100[由题意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°.又AB=600m,故由正弦定理得=,解得BC=300m.在Rt△BCD中,CD=BC·tan30°=300×=100(m).][规律方法]1.在测量高度时,要准确理解仰角、俯角的概念,仰角...

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