课时分层训练(十三)变化率与导数、导数的计算A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()【导学号：31222077】A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)C[ f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．]2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)等于()A．－eB．－1C．1D．eB[由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.]3．曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线方程是()A．x－3y＋3＝0B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0D．3x－y＋1＝0C[y′＝cosx＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.]4．(2017·郑州模拟)已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D.B[因为y＝－3lnx，所以y′＝－.再由导数的几何意义，有－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．]5．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于()【导学号：31222078】A．4B．5C.D.C[ f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－，∴所求面积S＝××10＝.]二、填空题6．(2017·郑州二次质量预测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P(1,3)处的切线方程是________．2x－y＋1＝0[由题意得f′(x)＝3x2－1，则f′(1)＝3×12－1＝2，即函数f(x)的图象在点P(1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.]7．若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.【导学号：31222079】[因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝.]8．如图2101，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.图21010[由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.]三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝xnlgx；(2)y＝＋＋；(3)y＝.[解](1)y′＝nxn－1lgx＋xn·＝xn－1.(2)y′′′′＝＋＋＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′＝－x－2－4x－3－3x－4＝－－－.(3)y′′＝＝＝＝.10．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围．[解](1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，2分所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，所以斜率最小的切线过点，4分斜率k＝－1，所以切线方程为x＋y－＝0.6分(2)由(1)得k≥－1，9分所以tanα≥－1，所以α∈∪.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·山东高考)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是()A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3A[若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A：y′＝cosx，若有cosx1·cosx2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；对于B：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1， x>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；对于C：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；对于D：y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2.综上所述，选A.]2．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．2x－y＝0[设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x. f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ex－1＋x. 当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1，∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.]3．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－lnx)(a＞0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)...
VIP
