第六节对数函数————————————————————————————————[考纲传真]1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．1．对数的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．(2)换底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN，③logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1性质定义域：(0∞，＋)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在(0∞，＋)上为增函数在(0∞，＋)上为减函数4.反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(“√”“正确的打，错误的打×”)(1)log2x2＝2log2x.()(2)当x＞1时，logax＞0.()(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．()(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象不在第二、三象限．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞b＞aD．c＞a＞bD[ 0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＞log＝1，∴c＞a＞b.]3．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图261，则下列结论成立的是()【导学号：31222050】图261A．a＞1，c＞1B．a＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1D[由图象可知y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，其中0＜c＜1.再根据单调性可知0＜a＜1.]4．(教材改编)若loga＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是()A.B．(1∞，＋)C.∪(1∞，＋)D.C[当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.即实数a的取值范围是∪(1∞，＋)．]5．(2017·杭州二次质检)计算：2log510＋log5＝________，2log43＝________.2[2log510＋log5＝log5＝2，因为log43＝log23＝log2，所以2log43＝2log2＝.]对数的运算(1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于()A.B．10C．20D．100(2)计算：÷100－＝________.(1)A(2)－20[(1) 2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m＝.(2)原式＝(lg2－2－lg52)×100＝×10＝(lg10－2)×10＝－2×10＝－20.][规律方法]1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．[变式训练1](1)(2017·东城区综合练习(二))已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为()A．24B．16C．12D．8(2)(2015·浙江高考)计算：log2＝________，2log23＋log43＝________.(1)A(2)－3[(1) 3＜2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×3＝24，故选A.(2)log2＝log2－log22＝－1＝－；2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2＝3.对数函数的图象及应用(1)(2016·河南焦作一模)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()ABCD(2)(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．(1)B(2)(1∞，＋)[(1...
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