第四节二次函数与幂函数————————————————————————————————[考纲传真]1.(1)了解幂函数的概念;(2)结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=的图象,了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为(h,k);零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象与性质函数y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)图象定义域R值域单调性在上减,在上增在上增,在上减对称性函数的图象关于x=-对称2.幂函数(1)定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)五种常见幂函数的图象与性质1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(“√”“正确的打,错误的打×”)(1)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.()(2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.()(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0).()(4)当n>0时,幂函数y=xn在(0∞,+)上是增函数.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2.(教材改编)已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2),若f(m)=3,则实数m的值为()A.B.±C.±D.9D[由题意可知4α=22α=2,所以α=.所以f(x)=x=,故f(m)==3⇒m=9.]3.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是()A.B.C.D.C[由题意知即得a>.]4.(2017·贵阳适应性考试(二))二次函数f(x)=2x2+bx-3(b∈R)零点的个数是()A.0B.1C.2D.4C[因为判别式Δ=b2+24>0,所以原二次函数有2个零点,故选C.]5.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(4,0)且函数的最大值为函数特征性质y=xy=x2y=x3y=xy=x-1图象定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(∞-,0)减,(0∞,+)增增增(∞-,0)和(0∞,+)减公共点(1,1)9,则这个二次函数的表达式是________.【导学号:31222037】y=-x2+2x+8[设y=a(x+2)(x-4),对称轴为x=1,当x=1时,ymax=-9a=9,∴a=-1,∴y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8.]求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.【导学号:31222038】[解]法一(利用一般式):设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).2分由题意得8分解得∴所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.12分法二(利用顶点式):设f(x)=a(x-m)2+n. f(2)=f(-1),∴抛物线的图象的对称轴为x==.3分∴m=.又根据题意函数有最大值8,∴n=8.∴y=f(x)=a2+8.8分 f(2)=-1,∴a2+8=-1,解得a=-4,∴f(x)=-42+8=-4x2+4x+7.12分法三(利用零点式):由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,2分故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.6分又函数的最大值是8,即=8,解得a=-4,∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.12分[规律方法]用待定系数法求二次函数的解析式,关键是灵活选取二次函数解析式的形式,选法如下[变式训练1]已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.[解] f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,∴f(x)的对称轴为x=2.2分又 f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,∴f(x)=0的两根为1和3.6分设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).又 f(x)的图象过点(4,3),∴3a=3,a=1.10分∴所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.12分二次函数的图象与性质角度1二次函数图象的识别及应用(1)设abc>0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是()ABCD(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.(1)D(2)[(1)由A,C,D知,f(0)=c<0. abc>0,∴ab<0,∴对称轴x=->0,知A,C错误,D符合要求.由B知f(0)=c>0,∴ab>0,∴x=-<0,B错误.(2)作出二次函数f(x)的图象,对于任意x∈[m,m+1],都有f(...