第四节二次函数与幂函数————————————————————————————————[考纲传真]1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象与性质函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域R值域单调性在上减，在上增在上增，在上减对称性函数的图象关于x＝－对称2.幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)五种常见幂函数的图象与性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(“√”“正确的打，错误的打×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．()(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.()(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．()(4)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0∞，＋)上是增函数．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，若f(m)＝3，则实数m的值为()A.B．±C．±D．9D[由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝.所以f(x)＝x＝，故f(m)＝＝3⇒m＝9.]3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A.B.C.D.C[由题意知即得a＞.]4．(2017·贵阳适应性考试(二))二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)零点的个数是()A．0B．1C．2D．4C[因为判别式Δ＝b2＋24＞0，所以原二次函数有2个零点，故选C.]5．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2,0)，B(4,0)且函数的最大值为函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(∞－，0)减，(0∞，＋)增增增(∞－，0)和(0∞，＋)减公共点(1,1)9，则这个二次函数的表达式是________.【导学号：31222037】y＝－x2＋2x＋8[设y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴为x＝1，当x＝1时，ymax＝－9a＝9，∴a＝－1，∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.]求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【导学号：31222038】[解]法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).2分由题意得8分解得∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.12分法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n. f(2)＝f(－1)，∴抛物线的图象的对称轴为x＝＝.3分∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.∴y＝f(x)＝a2＋8.8分 f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.12分法三(利用零点式)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，2分故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.6分又函数的最大值是8，即＝8，解得a＝－4，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.12分[规律方法]用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下[变式训练1]已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．[解] f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.2分又 f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.6分设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又 f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.10分∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.12分二次函数的图象与性质角度1二次函数图象的识别及应用(1)设abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()ABCD(2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．(1)D(2)[(1)由A，C，D知，f(0)＝c＜0. abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－＞0，知A，C错误，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B错误．(2)作出二次函数f(x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(...
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