课时分层训练(六)函数的奇偶性与周期性A组基础达标(建议用时:30分钟)一、选择题1.(2016·广东肇庆三模)在函数y=xcosx,y=ex+x2,y=lg,y=xsinx中,偶函数的个数是()A.3B.2C.1D.0B[y=xcosx是奇函数,y=lg和y=xsinx是偶函数,y=ex+x2是非奇非偶函数,故选B.]2.函数y=log2的图象()【导学号:31222034】A.关于原点对称B.关于直线y=-x对称C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称A[由>0得-1<x<1,即函数定义域为(-1,1),又f(-x)=log2=-log2=-f(x),∴函数y=log2为奇函数,故选A.]3.(2016·山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f=f,则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2D[由题意知当x>时,f=f,则f(x+1)=f(x).又当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),∴f(6)=f(1)=-f(-1).又当x<0时,f(x)=x3-1,∴f(-1)=-2,∴f(6)=2.故选D.]4.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(2019)=()A.-2B.2C.-98D.98A[∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数,∴f(2019)=f(504×4+3)=f(3)=f(-1).又f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-2×12=-2,即f(2019)=-2.]5.对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是()A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tanxD.f(x)=cos(x+1)D[由f(x)为准偶函数的定义可知,若f(x)的图象关于x=a(a≠0)对称,则f(x)为准偶函数,A,C中两函数的图象无对称轴,B中函数图象的对称轴只有x=0,而D中f(x)=cos(x+1)的图象关于x=kπ-1(k∈Z)对称.]二、填空题6.函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时,f(x)=+1,则当x<0时,f(x)=________.【导学号:31222035】--1[∵f(x)为奇函数,x>0时,f(x)=+1,∴当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(+1),即x<0时,f(x)=-(+1)=--1.]7.(2017·安徽蚌埠二模)函数f(x)=是奇函数,则实数a=________.-2[由题意知,g(x)=(x+2)(x+a)为偶函数,∴a=-2.]8.(2017·郑州模拟)已知函数f(x)是(∞∞-,+)上的奇函数,当x∈[0,2)时,f(x)=x2,若对于任意x∈R,都有f(x+4)=f(x),则f(2)-f(3)的值为________.1[由题意得f(2)=f(-2+4)=f(-2)=-f(2),∴f(2)=0.∵f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1)=-1,∴f(2)-f(3)=1.]三、解答题9.若f(x),g(x)是定义在R上的函数,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=,求f(x)的表达式.[解]在f(x)+g(x)=中用-x代替x,得f(-x)+g(-x)=,3分又f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以-f(x)+g(x)=,6分联立方程9分两式相减得f(x)==.12分10.已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=.(1)求f(1)和f(-1)的值;(2)求f(x)在[-1,1]上的解析式.[解](1)∵f(x)是周期为2的奇函数,∴f(1)=f(2-1)=f(-1)=-f(1),3分∴f(1)=0,f(-1)=0.5分(2)由题意知,f(0)=0.当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).由f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-=-,9分综上,在[-1,1]上,f(x)=12分B组能力提升(建议用时:15分钟)1.已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2018)的值为()A.2B.0C.-2D.±2A[∵g(-x)=f(-x-1),∴-g(x)=f(x+1).又g(x)=f(x-1),∴f(x+1)=-f(x-1),∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周期的周期函数,∴f(2018)=f(4×504+2)=f(2)=2.]2.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f=f,则a+3b的值为________.【导学号:31222036】-10[因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数,所以f=f,且f(-1)=f(1),故f=f,从而=-a+1,即3a+2b=-2.①由f(-1)=f(1),得-a+1=,即b=-2a.②由①②得a=2,b=-4,从而a+3b=-10.]3.已知函数f(x)=是奇函数,(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.[解](1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.2分又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.5分(2)由(1)知f(x)在[-1,1]上是增函数,要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增.结合f(x)的图象知9分所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].12分