课时分层训练(五)函数的单调性与最值A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝2－xB．y＝xC．y＝log2xD．y＝－B[由题知，只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且只有y＝x在R上是增函数．]2．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()【导学号：31222028】A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增B[由题意知，a＜0，b＜0，则－＜0，从而函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．]3．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是()A.B.C.D.D[要使函数有意义需4＋3x－x2＞0，解得－1＜x＜4，∴定义域为(－1,4)．令t＝4＋3x－x2＝－2＋.则t在上递增，在上递减，又y＝lnt在上递增，∴f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间为.]4．(2017·长春质检)已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)A[因为函数f(x)在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.]5．(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是()【导学号：31222029】A．[－1,0)B．[0,1]C．[－1,1]D．[－2,2]C[因为函数f(x)是偶函数，故f(－a)＝f(a)，原不等式等价于f(a)≤f(1)，即f(|a|)≤f(1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a|≤1，解得－1≤a≤1.]二、填空题6．(2017·江苏常州一模)函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为________．[∵0＜－x2＋2≤2，∴当x＝0时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(0)＝log22＝，∴f(x)的值域为.]7．已知函数f(x)为R上的减函数，若m＜n，则f(m)________f(n)；若f＜f(1)，则实数x的取值范围是________．＞(－1,0)∪(0,1)[由题意知f(m)＞f(n)；＞1，即|x|＜1，且x≠0.故－1＜x＜1且x≠0.]8．(2017·郑州模拟)设函数f(x)＝的最小值为2，则实数a的取值范围是________．【导学号：31222030】[3，＋∞)[当x≥1时，f(x)≥2，当x＜1时，f(x)＞a－1.由题意知a－1≥2，∴a≥3.]三、解答题9．已知函数f(x)＝－，x∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值．[解]设0≤x1＜x2≤2，则f(x1)－f(x2)＝－－＝－＝－.3分由0≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，6分所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在区间[0,2]上是增函数.10分因此，函数f(x)＝－在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f(0)＝－2，最大值是f(2)＝－.12分10．已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．[解](1)证明：设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.2分∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增.5分(2)f(x)＝＝＝1＋，当a＞0时，f(x)在(－∞，a)，(a，＋∞)上是减函数，8分又f(x)在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a≤1，故实数a的取值范围是(0,1].12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·湖北枣阳第一中学3月模拟)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为()【导学号：31222031】A．[0,3]B．(1,3)C．[2－，2＋]D．(2－，2＋)D[由题可知f(x)＝ex－1＞－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，若f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1,1]，即－b2＋4b－3＞－1，即b2－4b＋2＜0，解得2－＜b＜2＋.所以实数b的取值范围为(2－，2＋)，故选D.]2．函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．[令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，结合图象(图略)知，当t＝，即x＝时，ymax＝.]3．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．[解](1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.3分(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，当x>1时，f(x)<0，∴f<0，5分即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)
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