第二节函数的单调性与最值————————————————————————————————[考纲传真]1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.1.增函数、减函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1<x2,则都有:(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)<f(x2);(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)>f(x2).2.单调性、单调区间的定义若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.3.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M结论M是y=f(x)的最大值M是y=f(x)的最小值1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,x1≠x2且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D上是增函数.()(2)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).()(3)函数y=|x|是R上的增函数.()(4)所有的单调函数都有最值.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2.(2016·北京高考)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是()A.y=B.y=cosxC.y=ln(x+1)D.y=2-xD[选项A中,y=在(-∞,1)和(1,+∞)上为增函数,故y=在(-1,1)上为增函数;选项B中,y=cosx在(-1,1)上先增后减;选项C中,y=ln(x+1)在(-1,+∞)上为增函数,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数;选项D中,y=2-x=x在R上为减函数,故y=2-x在(-1,1)上是减函数.]3.(教材改编)已知函数f(x)=,x∈[2,6],则f(x)的最大值为________,最小值为________.2[可判断函数f(x)=在[2,6]上为减函数,所以f(x)max=f(2)=2,f(x)min=f(6)=.]4.函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是________.【导学号:31222025】[由题意知2k+1<0,得k<-.]5.f(x)=x2-2x,x∈[-2,3]的单调增区间为________,f(x)max=________.[1,3]8[f(x)=(x-1)2-1,故f(x)的单调增区间为[1,3],f(x)max=f(-2)=8.]函数单调性的判断(1)函数f(x)=log2(x2-1)的单调递减区间为________.(2)试讨论函数f(x)=x+(k>0)的单调性.(1)(-∞,-1)[由x2-1>0得x>1或x<-1,即函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).令t=x2-1,因为y=log2t在t∈(0,+∞)上为增函数,t=x2-1在x∈(-∞,-1)上是减函数,所以函数f(x)=log2(x2-1)的单调递减区间为(-∞,-1).](2)法一:由解析式可知,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).在(0,+∞)内任取x1,x2,令0<x1<x2,那么f(x2)-f(x1)=-=(x2-x1)+k=(x2-x1).2分因为0<x1<x2,所以x2-x1>0,x1x2>0.故当x1,x2∈(,+∞)时,f(x1)<f(x2),即函数在(,+∞)上单调递增.6分当x1,x2∈(0,)时,f(x1)>f(x2),即函数在(0,)上单调递减.考虑到函数f(x)=x+(k>0)是奇函数,在关于原点对称的区间上具有相同的单调性故在(-∞,-)上单调递增,在(-,0)上单调递减.综上,函数f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在(-,0)和(0,)上单调递减.12分法二:f′(x)=1-.2分令f′(x)>0得x2>k,即x∈(-∞,-)或x∈(,+∞),故函数的单调增区间为(-∞,-)和(,+∞).6分令f′(x)<0得x2<k,即x∈(-,0)或x∈(0,),故函数的单调减区间为(-,0)和(0,).10分故函数f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在(-,0)和(0,)上单调递减.12分[规律方法]1.利用定义判断或证明函数的单调性时,作差后应注意差式的分解变形要彻底.2.利用导数法证明函数的单调性时,求导运算及导函数符号判断要准确.易错警示:求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间,如本题(1).[变式训练1](1)(2017·深圳二次调研)下列四个函数中,在定义域上不是单调函数的是()A.y=x3B.y=C.y=D.y=x(2)函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区间是()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)(1)C(2)D[(1)选项...