第二节函数的单调性与最值————————————————————————————————[考纲传真]1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．1．增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)＜f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)＞f(x2)．2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．3．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．()(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(3)函数y＝|x|是R上的增函数．()(4)所有的单调函数都有最值．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．(2016·北京高考)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是()A．y＝B．y＝cosxC．y＝ln(x＋1)D．y＝2－xD[选项A中，y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y＝在(－1,1)上为增函数；选项B中，y＝cosx在(－1,1)上先增后减；选项C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数；选项D中，y＝2－x＝x在R上为减函数，故y＝2－x在(－1,1)上是减函数．]3．(教材改编)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．2[可判断函数f(x)＝在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.]4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________.【导学号：31222025】[由题意知2k＋1＜0，得k＜－.]5．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的单调增区间为________，f(x)max＝________.[1,3]8[f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的单调增区间为[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.]函数单调性的判断(1)函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为________．(2)试讨论函数f(x)＝x＋(k＞0)的单调性．(1)(－∞，－1)[由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．](2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝－＝(x2－x1)＋k＝(x2－x1).2分因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0.故当x1，x2∈(，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)，即函数在(，＋∞)上单调递增.6分当x1，x2∈(0，)时，f(x1)＞f(x2)，即函数在(0，)上单调递减．考虑到函数f(x)＝x＋(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性故在(－∞，－)上单调递增，在(－，0)上单调递减．综上，函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减.12分法二：f′(x)＝1－.2分令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－)或x∈(，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－)和(，＋∞).6分令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－，0)或x∈(0，)，故函数的单调减区间为(－，0)和(0，).10分故函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减.12分[规律方法]1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)．[变式训练1](1)(2017·深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是()A．y＝x3B．y＝C．y＝D．y＝x(2)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)(1)C(2)D[(1)选项...
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