第二节命题及其关系、充分条件与必要条件————————————————————————————————[考纲传真]1.“理解命题的概念;了解若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图121(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.(3)如果pDq,且qDp,则p是q的既不充分也不必要条件.4.集合与充要条件设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有:(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,若AB,则p是q的充分不必要条件.(2)若B⊆A,则p是q的必要条件,若BA,则p是q的必要不充分条件.(3)若A=B,则p是q的充要条件.1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(“√”“正确的打,错误的打×”)(1)“x2+2x-3<0”是命题.()(2)“命题若p,则q”“的否命题是若p,则綈q”.()(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()(4)“若p不成立,则q”“不成立等价于若q成立,则p”成立.()[解析](1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的.(2)错误.否命题既否定条件,又否定结论.(3)正确.q是p的必要条件说明p⇒q,所以p是q的充分条件.(4)正确.原命题与逆否命题是等价命题.[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2.(教材改编)“命题若α=,则tanα=1”的逆否命题是()A.若α≠,则tanα≠1B.若α=,则tanα≠1C.若tanα≠1,则α≠D.若tanα≠1,则α=C[“若p,则q”“的逆否命题是若綈q,则綈p”,显然綈q:tanα≠1,綈p:α≠“,所以该命题的逆否命题是若tanα≠1,则α≠”.]3.已知集合A={1,a},B={1,2,3}“,则a=3”“是A⊆B”的()【导学号:31222005】A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A[a=3时,A={1,3},显然A⊆B.但A⊆B时,a=2或3.∴“a=3”“是A⊆B”的充分不必要条件.]4“.命题若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A.1B.2C.3D.4B[“原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为若a>-6,则a>-3”是假命题,从而其否命题也是假命题.因此4个命题中有2个假命题.]5.(2016·天津高考)设x>0,y∈R“,则x>y”“是x>|y|”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件C[当x=1,y=-2时,x>y,但x>|y|不成立;若x>|y|,因为|y|≥y,所以x>y.所以x>y是x>|y|的必要而不充分条件.]四种命题的关系及其真假判断(1)“命题若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为()A“.若x=4,则x2-3x-4=0”为真命题B“.若x≠4,则x2-3x-4≠0”为真命题C“.若x≠4,则x2-3x-4≠0”为假命题D“.若x=4,则x2-3x-4=0”为假命题(2)“原命题为若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,假,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假(1)C(2)B[(1)根据逆否命题的定义可以排除A,D,由x2-3x-4=0,得x=4或-1,所以原命题为假命题,所以其逆否命题也是假命题.(2)由共轭复数的性质,原命题为真命题,因此其逆否命题也为真命题.当z1=1+2i,z2=2+i时,显然|z1|=|z2|,但z1与z2不共轭,所以逆命题为假命题,从而它的否命题亦为假命题.][规律方法]1.已知原命题写出该命题的其他命题时,先要分清命题的条件与结论.“特别注意的是,如果命题不是若p,则q”“形式的命题,需先改写为若p,则q”的形式.2.给出一个命题,要判断它是真命题,需经过严格的推理证明;而要说明它是假命题,只需举一反例即可.3.由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.[...