第2讲点、直线、平面之间的位置关系(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号空间线线关系证明1,4空间线面关系证明2,3空间面面关系证明2立体几何中的折叠问题41.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD;(2)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.(1)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD.由余弦定理得BD=AD,所以BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD.又AD∩PD=D,所以BD⊥平面PAD,又PA⊂平面PAD,所以PA⊥BD.(2)解:作DE⊥PB,垂足为E.已知PD⊥底面ABCD,则PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD,又BC∥AD,所以BC⊥BD.故BC⊥平面PBD,BC⊥DE,则DE⊥平面PBC,由题设知PD=1,则BD=,PB=2.由DE·PB=PD·BD得DE=.即棱锥D-PBC的高为.2.(2016·贵州省遵义航天高中一模)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,AA1=AB=6,D为AC的中点.(1)求证:直线AB1∥平面BC1D;(2)求证:平面BC1D⊥平面ACC1A1;(3)求三棱锥C-BC1D的体积.(1)证明:连接B1C交BC1于点O,连接OD,则点O为B1C的中点.因为D为AC中点,得DO为△AB1C的中位线,所以AB1∥OD.因为OD⊂平面BC1D,AB1⊄平面BC1D,所以直线AB1∥平面BC1D.(2)证明:因为AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BD.因为△ABC为正三角形,D是AC的中点,所以BD⊥AC.因为AA1∩AC=A,所以BD⊥平面ACC1A1.因为BD⊂平面BC1D,所以平面BC1D⊥平面ACC1A1.(3)解:由(2)知△ABC中,BD⊥AC,BD=ABsin60°=3,所以S△BCD=×3×3=.又CC1是底面BCD上的高,所以==××6=9.3.(2016·山东菏泽模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=4,BC=3,AA1=4,AC⊥BC,点M在线段AB上.(1)若M是AB中点,证明AC1∥平面B1CM;(2)当BM长是多少时,三棱锥B1-BCM的体积是三棱柱ABC-A1B1C1的体积的?(1)证明:连接BC1,交B1C于E,连接ME.因为直三棱柱ABC-A1B1C1,M是AB中点,所以侧面BB1C1C为矩形,ME为△ABC1的中位线,所以ME∥AC1.因为ME⊂平面B1CM,AC1⊄平面B1CM,所以AC1∥平面B1CM.(2)解:因为S△ABC=BA·BCsin∠ABC,S△MBC=BM·BCsin∠MBC,所以=·BM·BCsin∠ABC·B1B,=BA·BCsin∠ABC·B1B.由=,得BM=BA.因为AC⊥BC,所以在Rt△ACB中,BA==5,所以BM=.当BM长是时,三棱锥B1-BCM的体积是三棱柱ABC-A1B1C1的体积的.4.(2016·东北三省三校一模)如图,在平行四边形ABCD中,AD⊥BD,AD=2,BD=4,点M,N分别为BD,BC的中点,将其沿对角线BD折起成四面体QBCD,使平面QBD⊥平面BCD,P为QC的中点.(1)求证:PM⊥BD;(2)求点D到平面QMN的距离.(1)证明:因为平面QBD⊥平面BCD,QD⊥BD,平面QBD∩平面BCD=BD,所以QD⊥平面BCD,所以QD⊥DC,同理QB⊥BC.因为P是QC的中点,所以DP=BP=QC,又M是DB的中点,所以PM⊥BD.(2)解:因为QD⊥平面BCD,QD=BC=2,BD=4,M,N,P分别是DB,BC,QC的中点,所以QM=2,MN=,QN=,所以S△QMN=.又S△MND=1,设点D到平面QMN的距离为h,因为=,所以×1×2=××h,得h=,所以点D到平面QMN的距离为.(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号空间线线关系1空间线面关系2,3,4空间面面关系3立体几何中的折叠问题41.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C;(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.(1)证明:取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OC⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.(2)解:由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=.又A1C=,则A1C2=OC2+O,故OA1⊥OC.因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高.又△ABC的面积S△ABC=,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1=3.2.(2016·贵州省贵阳市适应性检测)如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,∠DAB=60°,AA1⊥平面ABCD,且AD=AA1=1,F为棱AA1的中点,M为线段BD1的中点.(1)求证:FM⊥平面BDD1B1;(2)求三棱锥D1-BDF的体积.(1)证明:连接AC,设与BD交于O点,连接OM,因为A1F=AF,AB=A1D1,∠D1A1F=∠FAB=90°,所以D1F=BF,又M为线段BD1的中点,所以FM⊥BD1,因为OM∥AF且OM=AF,所以四边形FAOM为平行四边形,所以FM∥AO,因为底面ABCD是菱形,所以AO⊥BD,则FM⊥BD,又因为BD∩BD1=B,所以FM⊥平面BDD1B1.(2)解:由(1)知FM⊥平面BDD1B1,因为=BD·DD1=×1...
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