第2讲数列求和及简单应用(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号求数列的通项公式、递推求和1,4,7,9,12公式法、分组求和法求和3,4,6,7,11裂项相消法求和、并项求和2,5,8错位相减法求和9数列的综合应用10,13重点把关1.(2016·河北石家庄二模)已知数列{an}满足an+2=an+1-an,且a1=2,a2=3,Sn为数列{an}的前n项和,则S2016的值为(A)(A)0(B)2(C)5(D)6解析:依题意,a1=2,a2=3,a3=a2-a1=3-2=1,a4=a3-a2=1-3=-2,a5=a4-a3=-2-1=-3,a6=a5-a4=-3-(-2)=-1,a7=a6-a5=-1-(-3)=2,a8=a7-a6=2-(-1)=3,…所以数列{an}是周期为6的周期数列,又因为2016=6×336,所以S2016=(2+3+1-2-3-1)×336=0,故选A.2.(2016·安徽淮南一模)数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2016等于(B)(A)2016(B)1008(C)504(D)0解析:因为an=ncos,所以a2k-1=(2k-1)cos=0,k∈N*.a2k=2kcoskπ=2k(-1)k.则S2016=a2+a4+…+a2016=2[(-1+2)+(-3+4)+…+(-1007+1008)]=1008,故选B.3.(2016·安徽淮南二模)已知数列{an}满足:an+1+2an=0,且a2=2,则{an}的前10项和等于(B)(A)(B)-(C)210-1(D)1-210解析:因为an+1+2an=0,所以数列{an}是公比为-2的等比数列,又因为a2=2,所以a1=(0-a2)=-1,所以所求值为=-,故选B.4.(2016·江西鹰潭一模)已知数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+1-an==2,n∈N*,则数列{}的前10项和为(A)(A)(410-1)(B)(410-1)(C)(49-1)(D)(49-1)解析:因为an+1-an==2,所以数列{an}是等差数列,且公差是2,{bn}是等比数列,且公比是2.又因为a1=1,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.所以=b2n-1=b1·22n-2=22n-2.设cn=,所以cn=,所以=4,所以数列{cn}是等比数列,且公比为4,首项为1.由等比数列的前n项和公式得,其前10项的和为=(410-1).故选A.5.(2016·北京东城区一模)已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1(4n-3),则S11等于(D)(A)-21(B)-19(C)19(D)21解析:S11=1-5+9-13+17-21+…+33-37+41,=(1-5)+(9-13)+(17-21)+…+(33-37)+41,=(-4)×5+41=21,故选D.6.(2016·安徽宿州一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2=2an+1-an,a5=4-a3,则S7的值为(D)(A)7(B)21(C)22(D)14解析:由an+2=2an+1-an得,an+2+an=2an+1,所以数列{an}是等差数列,又a5=4-a3,则a5+a3=4,所以S7===14,故选D.7.(2016·广西来宾调研)若数列{an}的前n项和为Sn对任意正整数n都有Sn=2an-1,则S6等于.解析:因为Sn=2an-1,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1.所以an=2an-1;当n=1时,S1=a1=2a1-1,解得a1=1,所以{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以S6==63.答案:638.(2016·广西河池市适应性测试)已知数列{}的前n项和Sn=n2,则数列{}的前n项和Tn=.解析:因为==所以=2n-1,所以==(-),所以Tn=(1-+-+…+-)=(1-)=.答案:9.(2016·天津三模)在数列{an}中,an>0,其前n项和Sn满足-(n2+2n-1)Sn-(n2+2n)=0.(1)求{an}的通项公式an;(2)若bn=,求b2+b4+…+b2n.解:(1)由-(n2+2n-1)Sn-(n2+2n)=0,得[Sn-(n2+2n)](Sn+1)=0,由an>0,可知Sn>0,故Sn=n2+2n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1;当n=1时,a1=S1=3,符合上式,则数列{an}的通项公式为an=2n+1.(2)依题意,bn===,则b2n==(n-1)·()n-1,设Tn=b2+b4+…+b2n,故Tn=0++++…+,4Tn=1+++…+.两式相减,得3Tn=1+++…+-=-=(4-),故Tn=(4-).能力提升10.(2016·山西太原三模)已知Sn,Tn分别为数列{}与{}的前n项和,若Sn>T10+1013,则n的最小值为(B)(A)1023(B)1024(C)1025(D)1026解析:因为==1+=1+-,所以Sn=1+1-+1+-+…+1+-=n+1-,因为=1+,所以T10=1++1++…+1+=10+=11-,因为Sn>T10+1013,所以n+1->11-+1013=1024-,而1025->1024-,1024-=1024-.故n的最小值为1024,故选B.11.(2016·“”福建四地六校联考)在数列{an}中,a1=1,an+2+(-1)nan=1.记Sn是数列{an}的前n项和,则S200=.解析:当n为奇数时,an+2-an=1,得数列{an}的奇数项组成首项为1、公差为1的等差数列,故a1+a3+…+a199=100×1+×1=5050;当n为偶数时,an+2+an=1,故a2+a4+a6+…+a200=50.所以S200=5050+50=5100.答案:510012.(2016·湖南长沙一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=4Sn-1(n∈N*).(1)证明:an+2-an=4;(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明:因为anan+1=4Sn-1,所以an+1an+2=3Sn+1-1,所以a...
