专题四数列第1讲等差数列与等比数列(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号数列的概念、通项1,8等差(比)数列的基本运算2,3,5,10等差(比)数列的性质7,11等差(比)数列的判断4,9,13,14等差(比)数列的综合问题6,9,12重点把关1.(2016·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0,则依次归纳该数列的通项不可能是(C)(A)an=(-1)n-1+1(B)an=(C)an=2sin(D)an=cos(n-1)π+1解析:令n=1,2,3,4分别代入验证,可知C:a3=-2,因此不成立.故选C.2.(2016·安徽合肥三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=5,a7=1,则a1等于(B)(A)-(B)-1(C)(D)解析:设等差数列{an}的公差为d,则解得故选B.3.(2016·福建龙岩一模)已知{an}是公差为的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若a2,a6,a14成等比数列,则S5等于(C)(A)(B)35(C)(D)25解析:因为{an}是公差为的等差数列,Sn为{an}的前n项和,a2,a6,a14成等比数列,所以(a1+×5)2=(a1+)(a1+×13),解得a1=,所以S5=5×+×=.故选C.4.(2016·广东湛江一模)已知数列{an}是公比为2的等比数列,数列{bn}是公差为3且各项均为正整数的等差数列,则数列{}是(D)(A)公差为5的等差数列(B)公差为6的等差数列(C)公比为6的等比数列(D)公比为8的等比数列解析:由数列{an}是公比为2的等比数列,可得an=a1×2n-1.由数列{bn}是公差为3且各项均为正整数的等差数列,可得bn+1-bn=3,则===23=8.所以数列{}是公比为8的等比数列.故选D.5.(2016·贵州省习水县一中模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,且=+1,则数列{an}的公差为(B)(A)1(B)2(C)2015(D)2016解析:由Sn=na1+d得-=(a1+d)-(a1+d)=1,所以d=2,故选B.6.(2016·天津二模)已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn是数列{an}前n项的和,则(n∈N+)的最小值为(A)(A)4(B)3(C)2-2(D)解析:因为a1=1,a1,a3,a13成等比数列,所以(1+2d)2=1+12d.得d=2或d=0(舍去),所以an=2n-1,Sn==n2,所以==.令t=n+1,则=t+-2≥6-2=4,当且仅当t=3,即n=2时等号成立,所以的最小值为4.故选A.7.(2016·黑龙江大庆一模)已知在等差数列{an}中,a1,a2017为方程x2-10x+16=0的两根,则a2+a1009+a2016的值为.解析:因为a1,a2017为方程x2-10x+16=0的两根,数列{an}是等差数列,所以a1+a2017=10=2a1009.则a2+a1009+a2016=3a1009=15.答案:158.(2016·贵州省习水县一中模拟)定义max{a,b}表示实数a,b中的较大的数.已知数列{an}满足a1=a(a>0),a2=1,an+2=(n∈N*),若a2015=4a,记数列{an}的前n项和为Sn,则S2015的值为.解析:由题意a3=,当a≥2时,a4=4,a5=2a,a6=a,a7=1,因此{an}是周期数列,周期为5,所以a2015=a5=2a≠4a,不合题意,当a<2时,a4=,a5=4,a6=a,a7=1,同理{an}是周期数列,周期为5,所以a2015=a5=4=4a,a=1,a1+a2+a3+a4+a5=18,S2015=403×18=7254.答案:72549.(2016·闽粤部分名校联考)在数列{an}中,a1=,且对任意的n∈N*都有an+1=.(1)求证:{-1}是等比数列;(2)若对任意的n∈N*都有an+1
=·==1+”成立.若记f(n)=1+,则f(n)显然是单调递减的,故f(n)≤f(1)=1+=.所以,实数p的取值范围为(,+∞).能力提升10.(2016·安徽安庆二模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为(C)(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{an},可知{an}是公比q=的等比数列,由S6=378,得S6==378,解得a1=192,所以a6=192×=6.故选C.11.(2016·天津二模)等比数列{an}前n项的乘积为Tn,且2a3=,则T9=.解析:由等比数列的性质可得2a3==a3a5,解得a5=2,设等比数列{an}的公比为q,所以T9=a1a2a3…a9=q1+2+3+…+8==q36=(a1·q4)9==29=512.答案:51212.已知公差不为0的等差数列{an}满足S7=77,且a1,a3,a11成等比数列.(1)求数列{an}的通项公...
