课时提升作业(三十二)数列求和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列{1+2n-1}的前n项和为()A.1+2nB.2+2nC.n+2n-1D.n+2+2n【解析】选C.由题意得an=1+2n-1,所以Sn=n+=n+2n-1,故选C.【加固训练】若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=()A.15B.12C.-12D.-15【解析】选A.因为an=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+…+a10=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.2.(2015·青岛模拟)数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数n为()A.120B.99C.11D.121【解析】选A.an==-,所以a1+a2+…+an=(-1)+(-)+…+(-)=-1=10.即=11,所以n+1=121,n=120.3.已知数列{an},an=2n+1,则++…+=()A.1+B.1-2nC.1-D.1+2n【解析】选C.an+1-an=2n+1+1-(2n+1)=2n+1-2n=2n,所以++…+=+++…+==1-=1-.4.(2015·杭州模拟)设函数f(x)=xm+ax的导数f′(x)=2x+1,则数列(nN*)∈的前n项和为()A.B.C.D.【解析】选C.函数f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=mxm-1+a=2x+1,所以m=2,a=1,所以f(x)=x2+x,f(n)=n2+n,即===-,所以数列的前n项和为++…+=-+-+…+-=1-=,故选C.5.数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2016等于()A.2016B.1008C.504D.0【解析】选B.因为an=ncos,所以当n为奇数时,an=0,当n为偶数时,an=其中mN*,∈所以S2016=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2016=a2+a4+a6+a8+…+a2016=-2+4-6+8-10+12-14+…+2016=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)+…+(-2014+2016)=2×504=1008.故选B.【加固训练】(2015·合肥模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(nN*),Sn∈是数列{an}的前n项和,则S2016=()A.22016-1B.3×21008-3C.3×21008-1D.3×22016-2【解析】选B.依题意得an·an+1=2n,an+1·an+2=2n+1,于是有=2,即=2,数列a1,a3,a5,…,a2n-1,…是以a1=1为首项、2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2n,…是以a2=2为首项、2为公比的等比数列,于是有S2016=(a1+a3+a5+…+a2015)+(a2+a4+a6+…+a2016)=+=3×21008-3,故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设f(x)=,利用倒序相加法,可求得:(1)f+f+…+f的值为.(2)f+f+…+f=.【解析】当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)=+==1.(1)设S1=f+f+…+f,倒序相加有2S1=++…+=10,即S1=5.(2)设S2=f+f+…+f,倒序相加有2S2=++…+f+f=2016,所以S2=1008.答案:(1)5(2)10087.(2015·郑州模拟)设数列{an}的通项公式为an=2n-10(nN*),∈则|a1|+|a2|+…+|a15|=.【解析】由an=2n-10(nN*)∈知{an}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-10≥0得n≥5,所以当n<5时,an<0,当n≥5时,an≥0,所以|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+110=130.答案:130【加固训练】(2015·郑州模拟)若数列{an}是1,,,…,1+++…+,…,则数列{an}的前n项和Sn=.【解析】an=1+++…+==2,所以Sn=2=2=2=2=2n-2+.答案:2n-2+8.(2015·厦门模拟)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的x,yR,∈都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(nN*),∈则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是.【解析】由已知可得a1=f(1)=,a2=f(2)=[f(1)]2=,a3=f(3)=f(2)·f(1)=[f(1)]3=,…,an=f(n)=[f(1)]n=,所以Sn=+++…+==1-,因为nN*,∈所以≤Sn<1.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·开封模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若数列{bn}满足++…+=1-,nN*,∈求{bn}的前n项和Tn.【解题提示】(1)根据等差数列的通项公式及前n项和公式,列出关于首项a1,公差d的方程组,解出a1,d,求得an.(2)先得到,再由(1)的结论得出bn,用错位相减法求出Tn.【解析】(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.由S4=4S2,a2n=2an+1,得解得因此an=2n-1,nN*.∈(2)由已知++…+=1-,nN*,∈当n=1时,=;当n≥2时,=1--=.所以=,nN*.∈由(1)知an=2n-1,nN*,∈所以bn=,nN*.∈所以Tn=+++…+,Tn=++…++.两式相减,得Tn=+-=--,所以Tn=3-.【误区警示】(1)解答本题的易错点:①由前n项和得出时,易忽视对n=1进行验证.②在利用错位相减法求和时,求得Tn后,易忽视对系数的处理.(2)解答该类问题易出现的错误:①求和类型分辨不清;②错位相减法求和时,“”对错项对齐不理解,导致减出的结果错误,若等比数列的公比为参数时,易忽视对公比为1的讨论.【加固训练】(2015·漳州模拟)在数列{an}和{bn}...
