1.4平面向量命题角度1平面向量的线性运算、平面向量基本定理高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·6)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()A.B.C.D.答案A解析如图,=-=-)==)=.2.(2017全国Ⅲ·12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为()A.3B.2C.D.2答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=,即圆的方程是(x-2)2+y2=.易知=(x,y-1),=(0,-1),=(2,0).由=λ+μ,得所以μ=,λ=1-y,所以λ+μ=x-y+1.设z=x-y+1,即x-y+1-z=0.因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=上,所以圆心C到直线x-y+1-z=0的距离d≤r,即,解得1≤z≤3,所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.3.(2015全国Ⅰ·7)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-B.C.D.答案A解析如图: =3,∴)=-.4.(2015全国Ⅱ·13)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.答案解析由题意知存在常数t∈R,使λa+b=t(a+2b),得解之得λ=.新题演练提能·刷高分1.(2018重庆二诊)已知两个非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b与n=2a+λb共线,则实数λ的值为()A.5B.3C.2.5D.2答案C解析 向量m=4a+5b与n=2a+λb共线,∴存在实数t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+λb),又向量a,b互相垂直,故a,b不共线.∴解得故选C.2.(2018山西一模)在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,设=a,=b,则向量=()A.a+bB.-a-bC.-a+bD.a-b答案C解析)=(b-a)=-a+b,故选C.3.(2018安徽安庆二模)在△ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数λ和μ,使得=λ+μ,则λ+μ=()A.B.-C.2D.-2答案B解析因为点D在边BC上,所以存在t∈R,使得=t=t().因为M是线段AD的中点,所以)=(-+t-t)=-(t+1),又=λ+μ,所以λ=-(t+1),μ=t,所以λ+μ=-.故选B.4.(2018安徽淮南一模)已知G是△ABC的重心,过点G作直线MN与AB,AC交于点M,N,且=x=y(x,y>0),则3x+y的最小值是()A.B.C.D.答案D解析如图, M,N,G三点共线,∴=λ,∴=λ(). G是△ABC的重心,∴),∴)-x=λy),∴解得(3x-1)(3y-1)=1,结合图象可知≤x≤1,≤y≤1,令3x-1=m,3y-1=n≤m≤2,≤n≤2,故mn=1,x=,y=,故3x+y=1+m++m++2,当且仅当m=,n=时等号成立,故选D.5.(2018山东菏泽一模)已知在△ABC中,D为边BC上的点,且BD=3DC,点E为AD的中点,=m+n,则m+n=.答案-解析如图所示,=)===)-=-.又=m+n,所以m+n=-,所以m++n-=0.又因为不共线,所以m=-,n=,所以m+n=-.6.(2018四川“联测促改”)在平面向量中有如下定理:设点O,P,Q,R为同一平面内的点,则P、Q、R三点共线的充要条件是:存在实数t,使=(1-t)+t.试利用该定理解答下列问题:如图,在△ABC中,点E为AB边的中点,点F在AC边上,且CF=2FA,BF交CE于点M,设=x+y,则x+y=.答案解析 B,M,F三点共线,∴存在实数t,使得=(1-t)+t,又=2,∴=2(1-t),又E,M,C三点共线,∴2(1-t)+t=1,解得t=.∴=2(1-t)+t,∴x=,y=,x+y=.命题角度2平面向量的坐标运算高考真题体验·对方向1.(2016全国Ⅱ·3)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8答案D解析由题意可知,向量a+b=(4,m-2).由(a+b)⊥b,得4×3+(m-2)×(-2)=0,解得m=8,故选D.2.(2016全国Ⅲ·3)已知向量,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°答案A解析由题意得cos∠ABC=,所以∠ABC=30°,故选A.3.(2018全国Ⅲ·13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.答案解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=.4.(2016全国Ⅰ·13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.答案-2解析 |a+b|2=|a|2+|b|2,∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.新题演练提能·刷高分1.(2018东北三省三校二模)已知向量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)∥(2a+tb),则t=()A.0B.C.-2D.-3答案C解析因为a-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t),又因为(a-b)∥(2a+tb),所以2(2+2t)=-(2-t),∴t=-2,故选C.2.(2018广东汕头期末)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),c=a-tb,若b⊥c,则实数t=()A.1B.-1C.D.2答案A解析由题意得c=a-tb=(2,4)-t(-1,1)=(2+t,4-t), b⊥c,∴b·c=(-1,1)·(2+t,4-t)=-(2+t)+(4-t)=2-2t=0,解得t=1.故选A.3.(2018福建福州期末)已知a=(1,2),b=(-1,1),c=2a-b,则|c|=()A.B.3C.D.答案B...
