2.3导数与积分命题角度1导数的运算与几何意义高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·5)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f'(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.2.(2016山东·10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3答案A解析当y=sinx时,y'=cosx,因为cos0·cosπ=-1,所以在函数y=sinx图象存在两点x=0,x=π使条件成立,故A正确;函数y=lnx,y=ex,y=x3的导数值均非负,不符合题意,故选A.3.(2018全国Ⅱ·13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.答案y=2x解析 y'=,∴当x=0时,y'=2,∴曲线在(0,0)处的切线方程为y=2x.4.(2018全国Ⅲ·14)直线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.答案-3解析设f(x)=(ax+1)ex, f'(x)=a·ex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex,∴f(x)=(ax+1)ex在(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.5.(2016全国Ⅱ·16)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.答案1-ln2解析对函数y=lnx+2求导,得y'=,对函数y=ln(x+1)求导,得y'=.设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=lnx1+2,y2=ln(x2+1).由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(lnx1+2)=(x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,所以解得x1=,所以k==2,b=lnx1+2-1=1-ln2.6.(2015陕西·15)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)解析曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k=y'=ex|x=0=1;由y=,可得y'=-,因为曲线y=(x>0)在点P处的切线与曲线y=ex在点(0,1)处的切线垂直,故-=-1,解得xP=1,由y=,得yP=1,故所求点P的坐标为(1,1).新题演练提能·刷高分1.(2018江西第二次检测)已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为()A.B.C.D.1答案B解析 f'(x)=,∴=2,a=,选B.2.(2018重庆二诊)曲线xy-x+2y-5=0在点A(1,2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.9B.C.D.答案B解析由xy-x+2y-5=0,得y=f(x)=,∴f'(x)=,∴f'(1)=-.∴曲线在点A(1,2)处的切线方程为y-2=-(x-1).令x=0,得y=;令y=0,得x=7.故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S=×7=.3.(2018辽宁大连一模)过曲线y=ex上一点P(x0,y0)作曲线的切线,若该切线在y轴上的截距小于0,则x0的取值范围是()A.(0,+∞)B.,+∞C.(1,+∞)D.(2,+∞)答案C解析y=ex,y'=ex,切线斜率为,切线方程为y-y0=(x-x0),当x=0时,y=-x0+y0=-x0(1-x0)<0,∴x0>1,则x0的取值范围是(1,+∞),故选C.4.(2018山西太原一模)函数y=ex+sinx在点(0,1)处的切线方程是.答案2x-y+1=0解析 函数y=ex+sinx,∴y'=ex+cosx,∴y'|x=0=e0+cos0=2,∴函数y=ex+sinx在点(0,1)处的切线方程是y-1=2x,即2x-y+1=0.5.(2018海南二模)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足关系式f(x)=3xf'(2)+lnx,则f'(1)的值等于.答案解析由f(x)=3xf'(2)+lnx,可得f'(x)=3f'(2)+,∴f'(2)=3f'(2)+,解得f'(2)=-,∴f'(1)=3f'(2)+1=.6.(2018陕西质量检测)已知函数f(x)=2lnx和直线l:2x-y+6=0,若点P是函数f(x)图象上的一点,则点P到直线l的距离的最小值为.答案解析设直线y=2x+m与函数f(x)的图象相切于点P(x0,y0)(x0>0).f'(x)=,则f'(x0)==2,解得x=1.∴P(1,0).则点P到直线2x-y+6=0的距离d=.即为点P到直线2x-y+6=0的距离的最小值.命题角度2导数与函数的单调性、极值和最值高考真题体验·对方向1.(2017浙江·7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()答案D解析设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<00,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.2.(2017全国Ⅱ·11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1答案A解析由题意可...
