第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入单元过关检测（四）(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(i为虚数单位),则z的虚部为()A.-1B.0C.1D.i【解析】选C.因为z====i,故虚部为1.【变式备选】(2018·珠海模拟)若复数z满足(1+i)z=2,则z的虚部为()A.-1B.-iC.iD.1【解析】选A.因为复数z满足(1+i)z=2,所以(1-i)(1+i)z=2(1-i),所以2z=2(1-i),z=1-i,则z的虚部为-1.2.已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当a=b=1时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反之,若(a+bi)2=2i,则有a=b=-1或a=b=1.3.复数z=+2i的共轭复数=()A.-1-2iB.1-2iC.-1+2iD.1+2i【解析】选B.因为z=(-i)4+2i=1+2i,所以=1-2i.【变式备选】复数z=的共轭复数是()A.2+iB.2-IC.-1+iD.-1-i【解析】选D.因为z==-1+i,所以z的共轭复数为-1-i.4.(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8【解析】选D.a+b=(4,m-2),因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.5.已知a,b,c是平面向量,下列命题中真命题的个数是()①(a·b)·c=a·(b·c);②|a·b|=|a||b|;③|a+b|2=(a+b)2;④a·b=b·c⇒a=c.A.1B.2C.3D.4【解析】选A.由平面向量的基础知识可知①②④均不正确,只有③正确.6.与向量a=(3,4)同方向的单位向量为b,又向量c=(-5,5),则b·c=()A.(-3,4)B.(3,-4)C.1D.-1【解析】选C.因为与向量a=(3,4)同方向的单位向量为b,所以b=,又向量c=(-5,5),所以b·c=·=1.7.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=()A.1B.2C.3D.5【解析】选A.因为4a·b=（a+b）2-（a-b）2=10-6=4,所以a·b=1.8.已知向量a=(1,2),b=(-2,m),若a∥b,则|2a+3b|等于()A.B.4C.D.80【解析】选B.因为a=(1,2),b=(-2,m),a∥b,所以1×m-(-2)×2=0⇒m=-4,于是,2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8),则|2a+3b|==4.9.在复平面内,把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数是()A.2B.-2iC.-3iD.3+i【解析】选B.因为复数3-i对应的向量为=(3,-),如图,把按顺时针方向旋转后恰好到y轴负半轴上的向量=(0,-2),所以所得向量对应的复数是-2i.【变式备选】复数z1,z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称,且z1=3+2i,则z2=()A.3-2iB.2-3iC.-3-2iD.2+3i【解析】选D.复数z1在复平面内关于直线y=x对称的点表示的复数z2=2+3i.10.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,则下列说法错误的是()A.=+B.=-C.=+D.=+【解析】选D.排除法.由题干图知,=+,故A正确.=-,故B正确.==(+)=+,故C正确.【变式备选】若O为平面内任一点且(+-2)·(-)=0,则△ABC是()A.直角三角形或等腰三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形但不一定是直角三角形D.直角三角形但不一定是等腰三角形【解析】选C.由(+-2)·(-)=0,得(+)·(-)=0.所以-=0,即||=||.所以AB=AC,即△ABC一定是等腰三角形.11.已知点A,B,C三点不共线,且有==,则有()A.<tanC>0,tanA<0,所以A>B>C,所以<<.12.(2018·福州模拟)已知⊥,||=,||=t,若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于()A.13B.15C.19D.21【解析】选A.建立如图所示的平面直角坐标系,则B,C(0,t),=,=(0,t),=+=t+(0,t)=(1,4),所以P(1,4),·=·(-1,t-4)=17-≤17-2=13,当且仅当t=时,取“=”.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.对于复数z1,z2,若(z1-i)z2=1,则称z1是z2的“错位共轭”复数,则复数-i的“错位共轭”复数为________.【解析】设复数-i的“错位共轭”复数为z,由(z-i)=1,可得z-i==+i,所以z=+i.答案:+i14.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=________.【解析】因为平面向量a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以所以=,解得m=2.答案:215.平行四边形ABC...
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