课时分层作业二十六平面向量的概念及其线性运算一、选择题(每小题5分,共35分)1.①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;③向量与向量共线,则A,B,C,D四点共线;④如果a∥b,b∥c,那么a∥c.以上命题中正确的个数为()A.1B.2C.3D.0【解析】选D.①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段;②不正确,若a与b中有一个为零向量时也互相平行,但零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行;④不正确,当b=0时,a与c不一定平行,故正确命题的个数为0.2.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是()A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同C.|-λa|≥|a|D.|-λa|≥|λ|·a【解析】选B.对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反.B正确;对于C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小.3.(2018·威海模拟)设a,b不共线,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为()A.-2B.-1C.1D.2【解析】选B.因为=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.又因为A,B,D三点共线,所以,共线.设=λ,所以2a+pb=λ(2a-b),所以2=2λ,p=-λ,即λ=1,p=-1.【变式备选】已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是()A.B,C,DB.A,B,CC.A,B,DD.A,C,D【解析】选C.因为=+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2(a+2b)=2,所以A,B,D三点共线.4.设平行四边形ABCD的对角线交于点P,则下列命题中正确的个数是()①=+;②=(+);③=-;④=.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为由向量加法的平行四边形法则,知①=+,②=(+)都是正确的,由向量减法的三角形法则,知③=-是正确的,因为,的大小相同,方向相反,所以④=是错误的.【变式备选】如图所示,已知=2,=a,=b,=c,则下列等式中成立的是()A.c=b-aB.c=2b-aC.c=2a-bD.c=a-b【解析】选A.由=2得+=2(+),即2=-+3,即c=b-a.5.在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则=()A.+B.+C.+D.+【解析】选D.如图,因为=,又因为=+,所以=+.6.如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ(λ,μ为实数),则λ2+μ2=()A.B.C.1D.【解析】选A.=+=+=+(+)=-,所以λ=,μ=-,故λ2+μ2=.7.如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=()A.-B.-C.-+D.-+【解析】选C.方法一:如图,取AB的中点G,连接DG,CG,则易知四边形DCBG为平行四边形,所以==-=-,所以=+=+=+(-)=+,于是=-=-=-=-+.方法二:=+=+=-+(++)=-+(++)=-+++(++)=-+.二、填空题(每小题5分,共15分)8.给出下列四个命题:①若a+b与a-b是共线向量,则a与b也是共线向量;②若|a|-|b|=|a-b|,则a与b是共线向量;③若|a-b|=|a|+|b|,则a与b是共线向量;④若||a|-|b||=|a|+|b|,则b与任何向量都共线.其中为真命题的有________(填上序号).【解析】由向量的平行四边形法则知道,若a+b与a-b是共线向量,则必有a与b也是共线向量.所以①是真命题;若|a|-|b|=|a-b|,则a与b同向,或b是零向量或a,b均为零向量,所以a与b是共线向量,所以②是真命题;若|a-b|=|a|+|b|,则a与b方向相反,或a,b中至少有一个零向量,所以a与b是共线向量,所以③是真命题;当a是零向量,b是非零向量时,||a|-|b||=|a|+|b|成立,而b不能与任何向量都共线,所以④是假命题.答案:①②③9.直线l上有不同三点A,B,C,O是直线l外一点,对于向量=(1-cosα)+sinα(α是锐角)总成立,则α=________.【解析】因为直线l上有不同三点A,B,C,所以存在实数λ,使得=λ,所以-=λ(-),即=+λ,所以所以sinα=cosα,因为α是锐角,所以α=45°.答案:45°10.设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则实数k的值为________.【解析】因为=2e1+ke2,=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,由A,B,D三点共线,得∥,所以2e1+ke2=λ(e1-4e2),所以则k=-8.答案:-8【变式备选】若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为________.【解析】+-2=(-)+(-)=+,-==-,所以|+|=|-|,故A,B,C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形.答案:直角三角形1.(5分)已知a,b是非零向量,则“a与b不共线”是“|a+b|<|a|+|b|”的()A.充分不必...
VIP
