课时分层作业二十七平面向量的数量积及应用举例一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知向量a=(1,m),b=(3,-2)且(a-b)⊥b,则m=()A.-8B.-5C.5D.8【解析】选B.由(a-b)⊥b知:(a-b)·b=0,所以a·b-b2=0,即3-2m-13=0,所以m=-5.2.已知平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=()A.B.2C.4D.12【解析】选B.由题得,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12.所以|a+2b|=2.3.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a·b=0,则|a-b|=()A.B.C.2D.【解析】选A.|a|=1,b=(2,1),且a·b=0,则|a-b|2=a2+b2-2a·b=1+5-0=6,所以|a-b|=.4.已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R,若·=-,则λ=()A.B.C.D.【解析】选A.因为·=-,所以-=·=·=--λ+·=-4-4λ+2=-2λ2+2λ-2,解得λ=.【一题多解】选A.如图建立平面直角坐标系,设A(-1,0),B(1,0),C(0,),另设P(x1,0),Q(x2,y2),由=λ,得x1=2λ-1,由=(1-λ),得x2=-λ;y2=(1-λ),于是=(-λ-1,(1-λ)),=(2λ-1,-),由·=-得:(-λ-1)(2λ-1)-3(1-λ)=-,解得λ=.【变式备选】在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点E和点F分别在线段BC和CD上,且=,=,则·的值为________.【解析】在等腰梯形ABCD中,由AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,得·=,·=1,·=-1,=,所以·=·=·=·+·++·=1++-=.答案:5.(2015·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是()A.|b|=1B.a⊥bC.a·b=1D.(4a+b)⊥【解析】选D.因为=-=(2a+b)-2a=b,所以|b|=2,故A错误;由于·=2a·(2a+b)=4|a|2+2a·b=4+2×1×2×=2,所以2a·b=2-4|a|2=-2,所以a·b=-1,故B,C错误;又因为(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a,b夹角θ的余弦值为________.【解析】|a|=|a+2b|,两边平方得,|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b=|a|2+4|b|2+4|a||b|·cosθ.又考虑到|a|=3|b|,所以0=4|b|2+12|b|2cosθ,得cosθ=-.答案:-7.(2018·济南模拟)已知A(-1,cosθ),B(sinθ,1),若|+|=|-|(O为坐标原点),则锐角θ=________.【解析】利用几何意义求解:由已知可得,+是以OA,OB为邻边所作平行四边形OADB的对角线向量,-则是对角线向量,由对角线相等的平行四边形为矩形.知OA⊥OB.因此·=0,所以锐角θ=.答案:【一题多解】坐标法:+=(sinθ-1,cosθ+1),-=(-sinθ-1,cosθ-1),由|+|=|-|可得(sinθ-1)2+(cosθ+1)2=(-sinθ-1)2+(cosθ-1)2,整理得sinθ=cosθ,于是锐角θ=.答案:【变式备选】已知a=(1,1),b=(cosα,sinα).若a∥b,则α=________.【解析】因为a∥b,所以cosα=sinα,则tanα=1,又因为0≤α<,所以α=.答案:8.对任意平面向量a,b,下列关系式中恒成立的是________.(填序号)①|a·b|≤|a||b|;②|a-b|≤||a|-|b||;③(a+b)2=a2+b2+2a·b;④(a+b)·(a-b)=a2-b2.【解析】对于①,|a·b|=||a||b|cosθ|≤|a||b|(θ为a,b的夹角)恒成立;对于②,当a,b均为非零向量且方向相反时不成立;对于③,④容易判断恒成立.答案:①③④三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知平面向量a=(,-1),b=.(1)证明:a⊥b.(2)若存在不同时为零的实数k和t,使c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且c⊥d,试求函数关系式k=f(t).【解析】(1)因为a·b=×-1×=0,所以a⊥b.(2)因为c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且c⊥d,所以c·d=[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a·b=0.又因为a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,a·b=0,所以c·d=-4k+t3-3t=0,所以k=f(t)=(t≠0).10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ.(2)求|a+b|.(3)若=a,=b,求△ABC的面积.【解析】(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又因为|a|=4,|b|=3,所以64-4a·b-27=61,所以a·b=-6.所以又因为0≤θ≤π,所以θ=.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,所以|a+b|=.(3)因为与的夹角θ=,所以∠ABC=π-=.又因为||=|a|=4,||=|b|=3,所以S△ABC=||·||sin∠ABC=×4×3×=3.【变式备选】已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.(1)若|a-b|=,求证:a⊥b.(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.【解析】(1)由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2.又因为a2=b2=...
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