课时分层作业六十六二项式定理一、选择题(每小题5分,共35分)1.化简1+3x+3x2+x3=()A.x4B.(x+1)3C.(x+1)4D.(x-1)3【解析】选B.原式=+x+x2+x3=(1+x)3=(x+1)3.2.的展开式中,x2y4的系数是()A.30B.-30C.60D.-60【解析】选C.Tk+1=(-2y)k=(-2)kx6-kyk,由题意,k=4,所以x2y4的系数为(-2)4=60.3.(2016·四川高考)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4【解析】选A.二项式(x+i)6展开的通项Tr+1=x6-rir,则其展开式中含x4的项是6-r=4,即r=2,则展开式中含x4的项为x4i2=-15x4.4.(2018·九江模拟)在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是()A.74B.121C.-74D.-121【解析】选D.展开式中含x3项的系数为(-1)3++(-1)3+(-1)3=-121.5.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,则实数m的值为()A.1或3B.-3C.1D.1或-3【解析】选D.令x=0,得a0=(1+0)6=1.令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6,又a1+a2+a3+…+a6=63,所以(1+m)6=64=26,故m=1或m=-3.6.(2018·衡水模拟)的展开式中的常数项是()A.352B.-352C.1120D.-1120【解题指南】把三项的乘方问题转化为二项式定理求解.【解析】选C.原式==+(-4)+(-4)2+(-4)3+(-4)4,所以其常数项为42+4(-4)2+(-4)4=1120.【一题多解】解答本题还可用如下方法:选C.原式==,Tk+1=(2x)8-k=(-1)k28-kx8-2k,由8-2k=0,得k=4,所以常数项为:(-1)4×24=1120.7.(2018·海口模拟)若(x2-a)的展开式中x6的系数为30,则a等于()A.B.C.1D.2【解析】选D.依题意,注意到的展开式的通项公式是Tr+1=·x10-r·=·x10-2r,的展开式中含x4(当r=3时)、x6(当r=2时)项的系数分别为、,因此由题意得-a=120-45a=30,由此解得a=2.【变式备选】(2018·济南模拟)(x+2)2(1-x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为()A.5B.3C.2D.0【解析】选A.常数项为×22×=4,x7系数为×(-1)5=-1,因此x7的系数与常数项之差的绝对值为5.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2x-3y)4的展开式中二项式系数最大的项为________.【解析】展开式共有五项,二项式系数最大的项为T2+1=(2x)2(-3y)2=216x2y2.答案:216x2y2【易错警示】解答本题易误填6,出错的原因是题意理解不准,误填二项式系数.9.(2018·兰州模拟)设(x-a)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,若a5+a8=-6,则实数a的值为________.【解析】由二项展开式的通项公式可得a5=(-a)3=-56a3,a8=(-a)0=1.因为a5+a8=-6,所以-56a3+1=-6,即a3=,所以a=.答案:10.(2018·山东高考)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=________.【解析】由题意,得(3x)2=54x2,即=6,解得n=4.答案:41.(5分)+(x+1)6+(2x2+y)8的展开式中含x2项的系数和为()A.24B.-9C.39D.55【解析】选D.对,T2+1=(x2)2=4x2=24x2,对(x+1)6,T4+1=x2×14=15x2,对(2x2+y)8,T7+1=2x2y7=16x2y7.所以,所求和为24+15+16=55.【易错警示】解答本题易误选C,出错的原因是认为(2x2+y)8展开式中没有符合条件的项.2.(5分)(2018·洛阳模拟)已知bxn+1=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n对任意x∈R恒成立,且a1=9,a2=36,则b=()A.4B.3C.2D.1【解析】选D.因为bxn+1=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n,而bxn+1=b[1+(x-1)]n+1=b[+(x-1)+(x-1)2+…+(x-1)n]+1,所以b=a1=9,b=a2=36,故n=9,b=1.【变式备选】若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+a5+…+a11)等于()A.27B.28C.7D.8【解析】选C.令x=-1得a0+a1+a2+…+a12=28①;令x=-3得a0-a1+a2-a3+…+a12=0②.①-②得2(a1+a3+…+a11)=28,所以a1+a3+…+a11=27,所以log2(a1+a3+…+a11)=7.3.(5分)(2018·大连模拟)设a=sinxdx,则二项式的展开式中的常数项是________.【解析】a=sinxdx=(-cosx)=2,二项展开式的通项是Tr+1=(2)6-r=·26-r·(-1)rx3-r,令3-r=0,得r=3,故二项展开式中的常数项是-×23=-160.答案:-1604.(12分)求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除.【证明】因为1+2+22+…+25n-1==25n-1=32n-1=(31+1)n-1=×31n+×31n-1+…+×31+-1=31(×31n-1+×31n-2+…+),显然×31n-1+×31n-2+…+为整数,所以原式能被31整除.【变式备选】求S=++…+除以9的余数.【解析】S=++…+=227-1=89-1=(9-1)9-1=×99-×98+…+×9--1=9(×98-×97+…+)-2.因为×98-×97+…+是整数,所以S被9除的余数为7.5.(13分)(2018·长春模拟)已知二项式,(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数.(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.【解析】(1)由题意可得+=2,整理得n2-21n+98=0,解得n=7或n=14,当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5,所以T4的系数为··23=,T5的系数为··24=70.当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8,所以T8的系数为··27=3432.(2)由题意可得++=79,整理得n2+n-156=0.解得n=12或n=-13(舍去).设Tk+1项的系数最大,因为=(1+4x)12,所以解得9.4≤k≤10.4,所以k=10.所以展开式中系数最大的项为T11,T11=··210·x10=16896x10.
