高考达标检测（三十二）空间角3——类型线线角、线面角、二面角1．如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是棱AB的中点，BC＝1，AA1＝.(1)求证：BC1∥平面A1DC；(2)求二面角DA1CA的正弦值．解：(1)证明：过点A作AO⊥BC交BC于点O，过点O作OE⊥BC交B1C1于E.因为平面ABC⊥平面CBB1C1，所以AO⊥平面CBB1C1.以O为坐标原点，OB，OE，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为BC＝1，AA1＝，△ABC是等边三角形，所以O为BC的中点．则O(0,0,0)，A，B，C，D，A1，C1，CD＝，A1C＝，设平面A1DC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即取x1＝，得z1＝－3，y1＝1，∴平面A1DC的一个法向量为n1＝(，1，－3)．又 BC1＝(－1，，0)，∴BC1·n1＝0，又BC1⊄平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC.(2)设平面ACA1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， AA1＝(0，，0)，则即取x2＝，得y2＝0，z2＝－1.∴平面ACA1的一个法向量为n2＝(，0，－1)．则cos〈n1，n2〉＝＝，设二面角DA1CA的大小为θ，∴cosθ＝，sinθ＝，故二面角DA1CA的正弦值为.2．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角MABD的余弦值．解：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD.由∠BAD＝∠ABC＝90°，得BC∥AD，又BC＝AD，所以EF綊BC，所以四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF，又CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，故CE∥平面PAB.(2)由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，P(0，1，)，PC＝(1,0，－)，AB＝(1,0,0)．设M(x，y，z)(0
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