课时分层作业二十一函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·深圳模拟)为了得到函数y=cos2x的图象,只要将函数y=sin2x的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选A.y=cos2x=sin=sin2,故只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度即可得到y=cos2x的图象.2.(2018·德州模拟)若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω等于()A.5B.4C.3D.2【解析】选B.由题图可知=x0+-x0=,即T==,故ω=4.3.(2018·九江模拟)设ω>0,函数y=sin(ωx+)-1的图象向左平移个单位后与原图象重合,则ω的最小值是()A.B.C.D.3【解析】选D.因为图象向左平移个单位后与原图象重合,所以是一个周期的整数倍.所以=T≤,ω≥3,所以ω最小是3.4.(2017·天津高考)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=【解析】选A.由题意其中k1,k2∈Z,所以ω=(k2-2k1)-,又T=>2π,所以0<ω<1,所以ω=,φ=2k1π+π,由<π得φ=.【光速解题】选A.由“f=2,f=0,”可推测=,T=3π,符合“f(x)的最小正周期大于2π”,易得ω=,代入解析式,结合“f=2,f=0,易求φ=.5.(2018·太原模拟)将函数f(x)=cos2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x),则g(x)具有性质()A.最大值为1,图象关于直线x=对称B.在上单调递增,为奇函数C.在上单调递增,为偶函数D.周期为π,图象关于点对称【解析】选B.将函数f(x)=cos2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=cos2(x-)=sin2x的图象,故当x∈时,2x∈,故函数g(x)在上单调递增,为奇函数.【变式备选】(2018·临汾模拟)把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位长度,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x)有以下四个判断:①该函数的解析式为y=2sin;②该函数图象关于点对称;③该函数在上是增函数;④若函数y=f(x)+a在上的最小值为,则a=2.其中,正确判断的序号是________.【解析】将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到y=sin2=sin(2x+)的图象,然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图象,所以①不正确.f=2sin=2sinπ=0,所以函数图象关于点对称,所以②正确.由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数的单调递增区间为,k∈Z,所以③不正确.y=f(x)+a=2sin+a,当0≤x≤时,≤2x+≤,所以当2x+=,即x=时,函数取得最小值,ymin=2sin+a=-+a,令-+a=,得a=2,所以④正确,所以正确判断的序号为②④.答案:②④二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018·长沙模拟)将函数y=cosx+sinx的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后关于y轴对称,则θ的最小值是________.【解析】函数y=cosx+sinx=sin,图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后,可得sin关于y轴对称,所以-θ=+kπ,k∈Z.即θ=--kπ.因为θ>0,当k=-1时,可得θ的最小值为.答案:7.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ),y=f(x)的部分图象如图所示,则f等于__________.【解析】由题图可知T=2×=,所以ω==2.即f(x)=Atan(2x+φ),又因为f=0,故Atan=0,|φ|<,所以φ=,因为f(0)=1,所以Atan=1,即A=1,即f(x)=tan,所以f=tan=tan=.答案:8.已知关于x的方程2sin+1-a=0在区间上存在两个根,则实数a的取值范围是________.【解题指南】将原方程化为sin=,数形结合分析满足的条件,求出a的取值范围.【解析】2sin+1-a=0化为sin=,令t=x+,由x∈得,t=x+∈,画出函数y=sint,t∈的图象和直线y=,当≤<1时,即2≤a<3时,函数y=sint,t∈的图象和直线y=有两个公共点,原方程有两个根.答案:[2,3)三、解答题(每小题10分,共20分)9.设函数y=f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的周期为π.(1)求函数y=f(x)的振幅、初相.(2)用五点法作出函数y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.(3)说明函数y=f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.【解析】(1)因为函数y=f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ω>0)的周期为T==π,所以ω=2,即y=f(x)=2sin,振幅为2,初相为.(2)列表2x+0ππ2πx-y020-20描点连线,(3)由y=sinx的图象向左平移个单位,再把所得图象上的各点的横坐标变为原来的,再把所得图象上的各点的纵坐标变为原来的2倍即可...
