考情分析考点新知离散型随机变量的分布列、期望、方差和概率的计算问题结合在一起进行考查，这是当前高考命题的热点，因为概率问题不仅具有很强的综合性，而且与实际生产、生活问题密切联系，能很好地考查分析、解决问题的能力．①了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义．②会求离散型随机变量的均值、方差和标准差，并能解决有关实际问题.1.(选修23P67习题4改编)某单位有一台电话交换机，其中有8个分机．设每个分机在1h内平均占线10min，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X的数学期望为________．答案：解析：每个分机占线的概率为，X～B，即X服从二项分布，所以期望E(X)＝8×＝.2.(选修23P66例2改编)有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X，则E(X)＝________，V(X)＝________.答案：21.98解析：X～B(200,0.01)，所以期望E(X)＝200×0.01＝2，V(X)＝200×0.01×(1－0.01)＝1.98.3.(选修23P71习题4改编)某人进行射击，每次中靶的概率均为0.8，现规定：若中靶就停止射击，若没中靶，则继续射击，如果只有3发子弹，则射击数X的均值为________．(填数字)答案：1.24解析：射击次数X的分布列为X123P0.80.160.04∴E(X)＝0.8×1＋0.16×2＋0.04×3＝1.24.4.(选修23P71习题1改编)随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝，则方差V(X)的值是________．答案：解析：a、b、c成等差数列，有2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，E(X)＝－1×a＋1×c＝c－a＝.得a＝，b＝，c＝，∴V(X)＝2×＋2×＋2×＝.5.一高考考生咨询中心有A、B、C三条咨询热线．已知某一时刻热线A、B占线的概率均为0.5，热线C占线的概率为0.4，各热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ条热线占线，则随机变量ξ的期望为________．答案：1.4解析：随机变量ξ可能取的值为0、1、2、3.依题意，得P(ξ＝0)＝0.15,P(ξ＝1)＝0.4，P(ξ＝2)＝0.35，P(ξ＝3)＝0.1∴ξ的分布列为ξ0123P0.150.40.350.1∴它的期望为E(ξ)＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4.1.均值(1)若离散型随机变量ξ的分布列为：ξx1x2…xnPp1p2…pn则称E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为ξ的均值或数学期望，简称期望．(2)离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)数学期望的性质．E(c)＝c，E(aξ＋b)＝aEξ＋b(a、b、c为常数)．2.方差(1)若离散型随机变量ξ所有可能的取值是x1，x2，…，xn且这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，则称：V(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(xn－E(ξ))2pn为ξ的方差．(2)σ＝，叫标准差．(3)随机变量ξ的方差反映了ξ取值的稳定性．(4)方差的性质a、b为常数，则V(aξ＋b)＝a2Vξ.3.若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，V(ξ)＝np(1－p)．4.期望与方差的关系均值(期望)反映了随机变量取值的平均水平，而方差则表现了随机变量所取的值对于它的均值(期望)的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的，且有关系式V(ξ)＝E(ξ2)＋(E(ξ))2.[备课札记]题型1离散型随机变量的期望例1已知离散型随机变量ξ1的概率分布为ξ11234567P离散型随机变量ξ2的概率分布为ξ23.73.83.944.14.24.3P求这两个随机变量数学期望、方差与标准差．解：E(ξ1)＝1×＋2×＋…＋7×＝4；V(ξ1)＝(1－4)2×＋(2－4)2×＋…＋(7－4)2×＝4，σ1＝＝2.E(ξ2)＝3.7×＋3.8×＋…＋4.3×＝4；V(ξ2)＝0.04，σ2＝)＝0.2.甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2，0.6，0.2；射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4，0.2，0.4.用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平．解：Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，V(ξ1)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；同理有E(ξ2)＝9，V(ξ2)＝0.8.由上可知，E(ξ1)＝E(ξ2)，V(ξ1)
