课时分层作业四十八利用向量求空间角和距离一、选择题(每小题5分,共25分)1.若直线l的方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于()A.120°B.60°C.30°D.60°或30°【解析】选C.设直线l与平面α所成的角为β,直线l与平面α的法向量的夹角为γ.则sinβ=|cosγ|=|cos120°|=.又因为0°≤β≤90°,所以β=30°.2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0≤λ≤1),则点G到平面D1EF的距离为()A.B.C.D.【解析】选D.如图所示,以射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则G(1,λ,1),E,D1(0,0,1),F,=,=(0,1,0),=.过点G向平面D1EF作垂线,垂足为H,由于点H在平面D1EF内,故存在实数x,y,使=+x+y=,由于GH⊥EF,GH⊥ED1,所以解得故=,所以||=,即点G到平面D1EF的距离是.3.(2018·赣州模拟)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°【解析】选C.cos
===,即=45°,其补角为135°.所以两平面所成的二面角为45°或135°.【变式备选】(2018·合肥模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设棱长为1.则A1(0,0,1),E,D(0,1,0),所以=(0,1,-1),=.设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z),所以有即所以所以n1=(1,2,2).因为平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),所以cos==,即所成的锐二面角的余弦值为.4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选D.以A为原点,以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,设棱长为1,则A1(0,0,1),M,D(0,1,0),N,=,=.cos<,>==0,所以A1M与DN所成的角的大小是90°.【一题多解】连接D1M,A1D1⊥平面CC1D1D,则A1D1⊥DN,DN⊥D1M,A1D1∩D1M=D1,所以DN⊥平面A1D1M,A1M⊂平面A1D1M,所以DN⊥A1M.【误区警示】用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时,注意区别:当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是此异面直线所成的角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成的角.【变式备选】将正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,异面直线AD与BC所成的角为()A.B.C.D.【解析】选C.不妨以△ABC为底面,则由题意,当以A,B,C,D为顶点的三棱锥体积最大,即点D到底面△ABC的距离最大时,平面ADC⊥平面ABC,取AC的中点O,连接BO,DO,则易知DO,BO,CO两两互相垂直,所以分别以,,所在直线为z,x,y轴建立空间直角坐标系,令BO=DO=CO=1,则有O(0,0,0),A(0,-1,0),D(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),=(0,1,1),=(-1,1,0),所以cos<,>===,所以异面直线AD与BC所成的角为.5.如图,在空间直角坐标系中,正方体棱长为2,点E是棱AB的中点,点F是正方体的面AA1D1D上一点,且CF⊥B1E,则点F的轨迹是()A.线段B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分【解析】选A.设F(0,y,z)由已知可得E(1,0,0),B1(2,0,2),C(2,2,0),所以=(-1,0,-2),=(-2,y-2,z).因为CF⊥B1E,所以·=0,即2-2z=0,即z=1.故F的轨迹是直线的一部分,线段.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记=λ,当∠APC为钝角时,λ的取值范围是________.【解析】以,,为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),则=(1,1,-1),得=λ=(λ,λ,-λ),所以=+=(1-λ,-λ,λ-1),=+=(-λ,1-λ,λ-1).显然∠APC不是平角,所以∠APC为钝角等价于cos∠APC=cos<,>=<0,·<0,即(1-λ,-λ,λ-1)·(-λ,1-λ,λ-1)=(λ-1)(3λ-1)<0,得<λ<1.所以λ的取值范围是.答案:7.如图所示,四边形ABCD,ABEF都是矩形,它们所在的平面互相垂直,AD=AF=1,AB=2,点M,N分别在它们的对角线AC,BF上,且CM=BN=a(0
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