课时分层作业三十七基本不等式一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知a,b∈R,且ab≠0,则下列结论恒成立的是()A.a+b≥2B.+≥2C.|+|≥2D.a2+b2>2ab【解析】选C.因为和同号,所以|+|=||+||≥2.2.(2018·武汉模拟)下列命题中正确的是()A.函数y=x+的最小值为2B.函数y=的最小值为2C.函数y=2-3x-(x>0)的最小值为2-4D.函数y=2-3x-(x>0)的最大值为2-4【解析】选D.y=x+的定义域为{x|x≠0},当x>0时,有最小值2,当x<0时,有最大值-2,故A项不正确;y==+≥2,因为≥,所以取不到“=”,故B项不正确;因为x>0时,3x+≥2·=4,当且仅当3x=,即x=时取“=”,所以y=2-有最大值2-4,故C项不正确,D项正确.3.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是()A.B.4C.D.5【解析】选C.依题意,得+=·(a+b)=≥=,当且仅当即a=,b=时取等号,即+的最小值是.【变式备选】已知x>0,y>0,且+=1,则x+y的最小值是________.【解析】因为x>0,y>0,所以x+y=(x+y)=3++≥3+2(当且仅当y=x时取等号),所以当x=+1,y=2+时,(x+y)min=3+2.答案:3+24.(2018·太原模拟)已知x,y为正实数,则+的最小值为()A.B.C.D.3【解析】选D.由于x,y为正实数,则+=+-1≥2-1=3,当且仅当=时,等号成立,则其最小值为3.【变式备选】设x,y,z均为正数,满足x-2y+3z=0,则的最小值是________.【解析】因为x-2y+3z=0,所以y=,所以=≥=3.当且仅当x=3z时取“=”.答案:35.已知x>0,y>0,且4xy-x-2y=4,则xy的最小值为()A.B.2C.D.2【解析】选D.因为x>0,y>0,x+2y≥2,所以4xy-(x+2y)≤4xy-2,所以4≤4xy-2,即(-2)(+1)≥0,所以≥2,所以xy≥2.6.(2018·西安模拟)设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0)(a>0,b>0,O为坐标原点),若A,B,C三点共线,则+的最小值是()A.4B.C.8D.9【解析】选D.因为=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2),若A,B,C三点共线,则有∥,所以(a-1)×2-1×(-b-1)=0,所以2a+b=1,又a>0,b>0,所以+=·(2a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当即a=b=时等号成立.7.(2017·山东高考)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+<
b>0,且ab=1,所以a>1,0log22=1,由函数性质可知2x>x,所以>a+>a+b,上式两边同时取以2为底的对数可得a+>log2(a+b).方法二:因为a>b>0,且ab=1,所以a>1>b>0,令a=2,b=,则a+=2+=4,==.log2(a+b)=log2(2+)=log2>1.所以a+>log2(a+b)>.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2017·天津高考)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为________.【解析】≥=4ab+≥4,当且仅当a2=2b2且4ab=时取等号.答案:49.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品________件.【解析】设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=+≥2=20.当且仅当=(x>0),即x=80时“=”成立.答案:8010.(2018·沈阳模拟)设等差数列{an}的公差是d,其前n项和是Sn,若a1=d=1,则的最小值是________.【解析】an=a1+(n-1)d=n,Sn=,所以==≥=,当且仅当n=4时取等号.所以的最小值是.答案:1.(5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=,a+b=12,则△ABC面积的最大值为()A.8B.9C.16D.21【解析】选B.由三角形的面积公式:S=absinC=ab≤×=9,当且仅当a=b=6时等号成立.则△ABC面积的最大值为9.2.(5分)为保障春节期间的食品安全,某市质量监督局对超市进行食品检查,如图所示是某食品中微量元素含量数据的茎叶图,已知该组数据的平均数为11.5,则+的最小值为()A.9B.C.8D.4【解析】选B.因为该组数据的平均数为11.5,所以=11.5,即a+b=2,所以+=·=+≥+=,当且仅当=,即a=2b=时等号成立,所以+的最小值为.【变式备选】已知m>1,x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为3,则+()A.有最小值B.有最大值C.有最小值D.有最大值【解析】选A.直线mx-y+5-m=0过x-y+4=0上的定点A(1,5).画出表示的可行域,如图,由图知z=ax+by过A(1,5)时,最大值为a+5b=3,所以+=(a+5b)=(11++)≥.3.(5分)(2018·合肥模拟)已知a,b为正实数,直线x+y+a=0与圆(x-b)2+(y-1)2=2相切,则的取值范围是________.【解析】因为x+y+a=0与圆(x-b)2+(y-1)2=2相切,所以d==,所以a+b+1=2,即a+b=1,所以===(b+1)+-4≥2-4=0.又因为...
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