课时分层作业三十八直接证明与间接证明一、选择题(每小题5分,共25分)1.要证明+<2,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是()A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法【解析】选B.从要证明的结论——比较两个无理数大小出发,证明此类问题通常转化为比较有理数的大小,这正是分析法的证明方法.2.(2018·广州模拟)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x2+ax+b=0没有实根B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【解析】选A.因为“方程x2+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x2+ax+b=0有一个实根或两个实根”,所以该命题的否定是“方程x2+ax+b=0没有实根”.3.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥0【解析】选D.因为要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需要证(a2-1)(b2-1)≥0.4.命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否成立()A.不成立B.成立C.不能断定D.能断定【解析】选B.因为Sn=2n2-3n,所以Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)(n≥2),所以an=Sn-Sn-1=4n-5(n=1时,a1=S1=-1符合上式).又因为an+1-an=4(n≥1),所以{an}是等差数列.【变式备选】(2018·西安模拟)不相等的三个正数a,b,c成等差数列,并且x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则x2,b2,y2三数()A.成等比数列而非等差数列B.成等差数列而非等比数列C.既成等差数列又成等比数列D.既非等差数列又非等比数列【解析】选B.由已知条件,可得由②③得代入①,得+=2b,即x2+y2=2b2.故x2,b2,y2成等差数列.5.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是()A.②③B.①②③C.③D.③④⑤【解析】选C.若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,则a,b中至少有一个大于1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设a>b>0,m=-,n=,则m,n的大小关系是________.【解析】(分析法)-<⇐+>⇐a
0,显然成立.答案:m0,则实数p的取值范围是________.【解析】(补集法)令解得p≤-3或p≥,故满足条件的p的范围为.答案:【一题多解】(直接法)依题意有f(-1)>0或f(1)>0,即2p2-p-1<0或2p2+3p-9<0,得-0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.【证明】要证明2a3-b3≥2ab2-a2b成立,只需证:2a3-b3-2ab2+a2b≥0,即2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0,即(a+b)(a-b)(2a+b)≥0.因为a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,从而(a+b)(a-b)(2a+b)≥0成立,所以2a3-b3≥2ab2-a2b.10.已知四棱锥S-ABCD中,底面是边长为1的正方形,又SB=SD=,SA=1.(1)求证:SA⊥平面ABCD.(2)在棱SC上是否存在异于S,C的点F,使得BF∥平面SAD?若存在,确定F点的位置;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知得SA2+AD2=SD2,所以SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD=A,所以SA⊥平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S,C的点F,使得BF∥平面SAD.因为BC∥AD,BC⊄平面SAD.所以BC∥平面SAD.而BC∩BF=B,所以平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾,所以假设不成立.所以不存在这样的点F,使得BF∥平面SAD.1.(5分)设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+()A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2【解析】选D.因为a>0,b>0,c>0,所以++=++≥6,当且仅当a=b=c时,等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.2.(5分)(2018·洛阳模拟)设f(x)是定义在R上的奇函...
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