第八章平面解析几何单元过关检测(八)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为()A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0【解析】选A.设所求直线方程为2x+y+m=0,因为经过点(-1,3),所以2×(-1)+3+m=0,所以m=-1,所以所求直线方程为2x+y-1=0.2.已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是()A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解【解析】选B.由题意,直线y=kx+1一定不过原点O,P,Q是直线y=kx+1上不同的两点,则与不平行,因此a1b2-a2b1≠0,所以二元一次方程组一定有唯一解.3.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1【解析】选A.设圆上任意一点N(x0,y0),线段PN的中点M(x,y).由中点坐标公式,得x=,y=,化简得x0=2x-4,y0=2y+2.因为点N(x0,y0)在圆x2+y2=4上运动,所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.【变式备选】当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,半径为的圆的方程为()A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0【解析】选C.该直线可整理为a(x+1)+(-x-y+1)=0,故定点C为(-1,2),所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,即x2+y2+2x-4y=0.4.圆x2+y2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是()A.(x+3)2+(y-2)2=B.(x-3)2+(y+2)2=C.(x+3)2+(y-2)2=2D.(x-3)2+(y+2)2=2【解析】选C.圆x2+y2-2x-1=0⇒(x-1)2+y2=2,圆心(1,0),半径,关于直线2x-y+3=0对称的圆半径不变,排除A,B,两圆圆心连线段的中点在直线2x-y+3=0上,C中圆(x+3)2+(y-2)2=2的圆心为(-3,2),验证适合.5.已知点A(-1,0),点B是圆F:x2-2x+y2-11=0(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,则动点P的轨迹方程为()A.+=1B.-=1C.-=1D.+=1【解析】选D.由题意可知|PA|+|PF|=|BF|=2,所以动点P的轨迹是以A,F为焦点,以2为长轴长的椭圆,所以它的轨迹方程为+=1.6.若直线+=1通过点M(cosα,sinα),则()A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1C.+≤1D.+≥1【解析】选D.因为直线+=1通过点M(cosα,sinα),所以+=1,所以+=+++≥++2==1.7.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在【解析】选B.y2=4x的焦点是(1,0),设直线方程为y=k(x-1),k≠0,(1)将(1)代入抛物线方程可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x显然有两个实根,且都大于0,它们的横坐标之和是=5⇒3k2=4⇒k=±.8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为右支上一点,点Q满足=λ1(λ1>0)且||=2a,=λ2,·=0,则|OT|的值为()A.4aB.2aC.aD.【解析】选C.由题知Q,F1,P三点共线,F2,T,Q三点共线.因为|PF1|-|PF2|=2a=|F1Q|,所以|PQ|=|PF2|,又PT⊥QF2,所以T为等腰三角形QPF2底边QF2的中点,连接OT,则OT为△F1QF2的中位线,所以|OT|=a.9.如图F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()A.B.C.D.【解析】选D.因为F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,所以c=,由椭圆、双曲线的定义可知|AF1|+|AF2|=4,|AF2|-|AF1|=2a,所以|AF2|=2+a,|AF1|=2-a,又因为四边形AF1BF2为矩形,所以AF1⊥AF2,所以(2+a)2+(2-a)2=(2)2,解得a=,所以C2的离心率是e==.10.已知抛物线C:y2=2px(0
0,所以当且仅当x=-(p-4)时,|PA|取得最小值,所以16-(p-4)2=15,解得p=3,所以抛物线的焦点为F,B(3,3),所以|BF|=.11.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为()A.-2B.-C.1D.0【解析】选A.设点P(x,y),其中x≥1.依题意得A1(-1,0),F2(2,0),则有=x2-1,y2=3(x2-1),·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x...
