课时分层作业五十二抛物线一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=()A.2B.2C.4D.2【解析】选B.设抛物线的标准方程为C:y2=2px(p>0),由焦半径公式得2+=3,所以p=2,不妨设M(2,2),如图,|OM|=2.2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=()A.B.C.-D.-【解析】选D.联立解得或不妨设A在x轴上方,所以A(4,4),B(1,-2),因为F点坐标为(1,0),所以=(3,4),=(0,-2),cos∠AFB===-.【一题多解】选D.因为A(4,4),B(1,-2),|AB|=3,|AF|=5,|BF|=2,由余弦定理知,cos∠AFB==-.3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.B.(1,0)C.D.(0,1)【解析】选B.因为抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-且过点(-1,1),故-=-1,解得p=2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).【一题多解】选B.由于准线方程为x=-,焦点坐标为,所以由准线经过点(-1,1),可知焦点坐标为(1,0).【变式备选】抛物线y=2x2的焦点坐标是()A.B.C.D.【解析】选C.抛物线的标准方程为x2=y,所以焦点坐标是.【方法技巧】根据抛物线的标准方程确定焦点坐标.4.以x轴为对称轴,原点为顶点的抛物线上的一点P(1,m)到焦点的距离为4,则抛物线的方程是()A.y=4x2B.y=12x2C.y2=6xD.y2=12x【解析】选D.设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则由抛物线的定义知1+=4,即p=6,所以抛物线方程为y2=12x.5.已知抛物线y2=2x的弦AB的中点的横坐标为,则|AB|的最大值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3,利用抛物线的定义可知,|AF|+|BF|=x1+x2+1=4,由图可知|AF|+|BF|≥|AB|,即|AB|≤4,当且仅当直线AB过焦点F时,|AB|取得最大值4.6.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=()A.B.1C.D.2【解析】选D.因为y2=4x,所以F(1,0).又因为曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,所以P(1,2).将点P(1,2)的坐标代入y=(k>0),得k=2.7.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10【解析】选A.方法一:设直线l1方程为y=k1(x-1),联立方程得x2-2x-4x+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),所以x1+x2=-=,同理直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=,由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=++4=++8≥2+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:不妨设AB的倾斜角为θ.作AK1垂直于准线,垂足为K1,AK2垂直于x轴,垂足为K2,准线交x轴于点G,易知所以·cosθ+p=,所以=,同理=,所以==,又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+θ,==,而y2=4x,即p=2.所以+=2p=4===≥16,当θ=时取等号,即+的最小值为16.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=________.【解析】设N(0,a),F(2,0),那么M,点M在抛物线上,所以=8,解得a=±4,所以N(0,±4),那么|FN|==6.答案:69.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽________米.【解析】建立坐标系如图所示:则可设抛物线方程为x2=-2py(p>0).因为点(2,-2)在抛物线上,所以p=1,即抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=±.所以水位下降1米后,水面宽为2米.答案:210.已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为________.【解析】因为双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以2==,所以=,所以渐近线方程为x±y=0,因为抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点F,所以F到双曲线C1的渐近线的距离为=2,所以p=8,所以抛物线C2的方程为x2=16y.答案:x2=16y1.(5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解析】选C.由已知得抛物线的焦点F,设点A(0,2),抛物线上点M(x0,y0),则=,=.由已知得,·=0,即-8y0+16=0,因而y0=4,M.由|MF|=5得,+=5,又p>0,解得p=2或p=8,所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x.【变式备选】若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点,则实数a=_____...
